Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79060 / 84188
↖ ↑ ↗
← S 45.514046°
E 37.144775°		 ← 214.02 m → S 45.514046°
E 37.147522°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
S 45.515971°
E 37.144775°		 ← 214.02 m →
45 800 m²		 S 45.515971°
E 37.147522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603183746337891 y=0.642307281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603183746337891 × 217)
    floor (0.603183746337891 × 131072)
    floor (79060.5)     		tx = 79060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642307281494141 × 217)
    floor (0.642307281494141 × 131072)
    floor (84188.5)     		ty = 84188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79060 / 84188 ti = "17/79060/84188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79060/84188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79060 ÷ 217
    79060 ÷ 131072     		x = 0.603179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84188 ÷ 217
    84188 ÷ 131072     		y = 0.642303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603179931640625 × 2 - 1) × π
    0.20635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64829863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.28460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.894119051713287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64829863} λ = 0.64829863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894119051713287))-π/2
    2×atan(0.408967719405404)-π/2
    2×0.38821318475355-π/2
    0.7764263695071-1.57079632675     		φ = -0.79436996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64829863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.144775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79436996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.514046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79060 KachelY 84188 0.64829863 -0.79436996 37.144775 -45.514046
    Oben rechts KachelX + 1 79061 KachelY 84188 0.64834657 -0.79436996 37.147522 -45.514046
    Unten links KachelX 79060 KachelY + 1 84189 0.64829863 -0.79440355 37.144775 -45.515971
    Unten rechts KachelX + 1 79061 KachelY + 1 84189 0.64834657 -0.79440355 37.147522 -45.515971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79436996--0.79440355) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dl = 214.00188999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79436996--0.79440355) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dr = 214.00188999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64829863-0.64834657) × cos(-0.79436996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700734389647782 × 6371000     		do = 214.022319501482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64829863-0.64834657) × cos(-0.79440355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700710425398897 × 6371000     		du = 214.015000203033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79436996)-sin(-0.79440355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700734389647782-0.700710425398897)×R²
    abs(0.64834657-0.64829863)×2.39642488851777e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39642488851777e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39642488851777e-05×40589641000000     		ar = 45800.3977077902m²