Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7906 / 9586
↖ ↑ ↗
← S 29.267233°
W  6.284180°		 ← 2 131.39 m → S 29.267233°
W  6.262207°		 →
↑
2 131.16 m
↓
↑
2 131.16 m
↓
S 29.286399°
W  6.284180°		 ← 2 130.99 m →
4 541 917 m²		 S 29.286399°
W  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482574462890625 y=0.585113525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482574462890625 × 214)
    floor (0.482574462890625 × 16384)
    floor (7906.5)     		tx = 7906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585113525390625 × 214)
    floor (0.585113525390625 × 16384)
    floor (9586.5)     		ty = 9586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7906 / 9586 ti = "14/7906/9586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7906/9586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7906 ÷ 214
    7906 ÷ 16384     		x = 0.4825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9586 ÷ 214
    9586 ÷ 16384     		y = 0.5850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.534592304562866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10967963} λ = -0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534592304562866))-π/2
    2×atan(0.585908113522348)-π/2
    2×0.529993375181288-π/2
    1.05998675036258-1.57079632675     		φ = -0.51080958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51080958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.267233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7906 KachelY 9586 -0.10967963 -0.51080958 -6.284180 -29.267233
    Oben rechts KachelX + 1 7907 KachelY 9586 -0.10929613 -0.51080958 -6.262207 -29.267233
    Unten links KachelX 7906 KachelY + 1 9587 -0.10967963 -0.51114409 -6.284180 -29.286399
    Unten rechts KachelX + 1 7907 KachelY + 1 9587 -0.10929613 -0.51114409 -6.262207 -29.286399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51080958--0.51114409) × R
    0.000334510000000066 × 6371000     		dl = 2131.16321000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51080958--0.51114409) × R
    0.000334510000000066 × 6371000     		dr = 2131.16321000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10967963--0.10929613) × cos(-0.51080958) × R
    0.000383499999999995 × 0.872349003146403 × 6371000     		do = 2131.39156388401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10967963--0.10929613) × cos(-0.51114409) × R
    0.000383499999999995 × 0.872185417875333 × 6371000     		du = 2130.99187950829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51080958)-sin(-0.51114409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872349003146403-0.872185417875333)×R²
    abs(-0.10929613--0.10967963)×0.000163585271069966×R²
    0.000383499999999995×0.000163585271069966×6371000²
    0.000383499999999995×0.000163585271069966×40589641000000     		ar = 4541917.43308859m²