Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7906 / 4871
↖ ↑ ↗
← N 58.734005°
W  6.284180°		 ← 1 268.09 m → N 58.734005°
W  6.262207°		 →
↑
1 268.34 m
↓
↑
1 268.34 m
↓
N 58.722599°
W  6.284180°		 ← 1 268.51 m →
1 608 632 m²		 N 58.722599°
W  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482574462890625 y=0.297332763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482574462890625 × 214)
    floor (0.482574462890625 × 16384)
    floor (7906.5)     		tx = 7906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297332763671875 × 214)
    floor (0.297332763671875 × 16384)
    floor (4871.5)     		ty = 4871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7906 / 4871 ti = "14/7906/4871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7906/4871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7906 ÷ 214
    7906 ÷ 16384     		x = 0.4825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4871 ÷ 214
    4871 ÷ 16384     		y = 0.29730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29730224609375 × 2 - 1) × π
    0.4053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27358754910565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10967963} λ = -0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27358754910565))-π/2
    2×atan(3.57365023820018)-π/2
    2×1.29794904642488-π/2
    2.59589809284976-1.57079632675     		φ = 1.02510177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02510177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.734005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7906 KachelY 4871 -0.10967963 1.02510177 -6.284180 58.734005
    Oben rechts KachelX + 1 7907 KachelY 4871 -0.10929613 1.02510177 -6.262207 58.734005
    Unten links KachelX 7906 KachelY + 1 4872 -0.10967963 1.02490269 -6.284180 58.722599
    Unten rechts KachelX + 1 7907 KachelY + 1 4872 -0.10929613 1.02490269 -6.262207 58.722599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02510177-1.02490269) × R
    0.000199080000000018 × 6371000     		dl = 1268.33868000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02510177-1.02490269) × R
    0.000199080000000018 × 6371000     		dr = 1268.33868000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10967963--0.10929613) × cos(1.02510177) × R
    0.000383499999999995 × 0.519011899882269 × 6371000     		do = 1268.09061622648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10967963--0.10929613) × cos(1.02490269) × R
    0.000383499999999995 × 0.519182056613281 × 6371000     		du = 1268.506356509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02510177)-sin(1.02490269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519011899882269-0.519182056613281)×R²
    abs(-0.10929613--0.10967963)×0.000170156731012283×R²
    0.000383499999999995×0.000170156731012283×6371000²
    0.000383499999999995×0.000170156731012283×40589641000000     		ar = 1608632.03335989m²