Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79058 / 83222
↖ ↑ ↗
← S 43.624147°
E 37.139282°		 ← 221.05 m → S 43.624147°
E 37.142029°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 43.626135°
E 37.139282°		 ← 221.04 m →
48 867 m²		 S 43.626135°
E 37.142029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603168487548828 y=0.634937286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603168487548828 × 217)
    floor (0.603168487548828 × 131072)
    floor (79058.5)     		tx = 79058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634937286376953 × 217)
    floor (0.634937286376953 × 131072)
    floor (83222.5)     		ty = 83222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79058 / 83222 ti = "17/79058/83222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79058/83222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79058 ÷ 217
    79058 ÷ 131072     		x = 0.603164672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83222 ÷ 217
    83222 ÷ 131072     		y = 0.634933471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603164672851562 × 2 - 1) × π
    0.206329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64820276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634933471679688 × 2 - 1) × π
    -0.269866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.847812006680313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64820276} λ = 0.64820276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847812006680313))-π/2
    2×atan(0.428351136796049)-π/2
    2×0.404705662873022-π/2
    0.809411325746044-1.57079632675     		φ = -0.76138500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64820276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.139282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76138500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.624147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79058 KachelY 83222 0.64820276 -0.76138500 37.139282 -43.624147
    Oben rechts KachelX + 1 79059 KachelY 83222 0.64825069 -0.76138500 37.142029 -43.624147
    Unten links KachelX 79058 KachelY + 1 83223 0.64820276 -0.76141970 37.139282 -43.626135
    Unten rechts KachelX + 1 79059 KachelY + 1 83223 0.64825069 -0.76141970 37.142029 -43.626135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76138500--0.76141970) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76138500--0.76141970) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64820276-0.64825069) × cos(-0.76138500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723881159645308 × 6371000     		do = 221.045820388181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64820276-0.64825069) × cos(-0.76141970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723857218823041 × 6371000     		du = 221.038509770093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76138500)-sin(-0.76141970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723881159645308-0.723857218823041)×R²
    abs(0.64825069-0.64820276)×2.39408222665327e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39408222665327e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39408222665327e-05×40589641000000     		ar = 48866.6092949238m²