Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79057 / 83221
↖ ↑ ↗
← S 43.622159°
E 37.136536°		 ← 221.10 m → S 43.622159°
E 37.139282°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 43.624147°
E 37.136536°		 ← 221.09 m →
48 878 m²		 S 43.624147°
E 37.139282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603160858154297 y=0.634929656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603160858154297 × 217)
    floor (0.603160858154297 × 131072)
    floor (79057.5)     		tx = 79057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634929656982422 × 217)
    floor (0.634929656982422 × 131072)
    floor (83221.5)     		ty = 83221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79057 / 83221 ti = "17/79057/83221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79057/83221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79057 ÷ 217
    79057 ÷ 131072     		x = 0.603157043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83221 ÷ 217
    83221 ÷ 131072     		y = 0.634925842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603157043457031 × 2 - 1) × π
    0.206314086914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.64815482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634925842285156 × 2 - 1) × π
    -0.269851684570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.847764069780693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64815482} λ = 0.64815482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847764069780693))-π/2
    2×atan(0.428371671113667)-π/2
    2×0.40472301346916-π/2
    0.809446026938319-1.57079632675     		φ = -0.76135030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64815482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.136536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76135030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.622159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79057 KachelY 83221 0.64815482 -0.76135030 37.136536 -43.622159
    Oben rechts KachelX + 1 79058 KachelY 83221 0.64820276 -0.76135030 37.139282 -43.622159
    Unten links KachelX 79057 KachelY + 1 83222 0.64815482 -0.76138500 37.136536 -43.624147
    Unten rechts KachelX + 1 79058 KachelY + 1 83222 0.64820276 -0.76138500 37.139282 -43.624147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76135030--0.76138500) × R
    3.46999999999431e-05 × 6371000     		dl = 221.073699999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76135030--0.76138500) × R
    3.46999999999431e-05 × 6371000     		dr = 221.073699999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64815482-0.64820276) × cos(-0.76135030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723905099595956 × 6371000     		do = 221.099250733724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64815482-0.64820276) × cos(-0.76138500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723881159645308 × 6371000     		du = 221.091938856581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76135030)-sin(-0.76138500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723905099595956-0.723881159645308)×R²
    abs(0.64820276-0.64815482)×2.39399506484217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39399506484217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39399506484217e-05×40589641000000     		ar = 48878.4212000774m²