Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7905 / 9597
↖ ↑ ↗
← S 29.477861°
W  6.306152°		 ← 2 126.93 m → S 29.477861°
W  6.284180°		 →
↑
2 126.77 m
↓
↑
2 126.77 m
↓
S 29.496987°
W  6.306152°		 ← 2 126.53 m →
4 523 059 m²		 S 29.496987°
W  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482513427734375 y=0.585784912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482513427734375 × 214)
    floor (0.482513427734375 × 16384)
    floor (7905.5)     		tx = 7905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585784912109375 × 214)
    floor (0.585784912109375 × 16384)
    floor (9597.5)     		ty = 9597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7905 / 9597 ti = "14/7905/9597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7905/9597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7905 ÷ 214
    7905 ÷ 16384     		x = 0.48248291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9597 ÷ 214
    9597 ÷ 16384     		y = 0.58575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48248291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0350341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11006312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11006312} λ = -0.11006312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538810751729431))-π/2
    2×atan(0.583441696982474)-π/2
    2×0.528155296247713-π/2
    1.05631059249543-1.57079632675     		φ = -0.51448573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11006312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51448573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.477861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7905 KachelY 9597 -0.11006312 -0.51448573 -6.306152 -29.477861
    Oben rechts KachelX + 1 7906 KachelY 9597 -0.10967963 -0.51448573 -6.284180 -29.477861
    Unten links KachelX 7905 KachelY + 1 9598 -0.11006312 -0.51481955 -6.306152 -29.496987
    Unten rechts KachelX + 1 7906 KachelY + 1 9598 -0.10967963 -0.51481955 -6.284180 -29.496987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51448573--0.51481955) × R
    0.00033382000000004 × 6371000     		dl = 2126.76722000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51448573--0.51481955) × R
    0.00033382000000004 × 6371000     		dr = 2126.76722000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11006312--0.10967963) × cos(-0.51448573) × R
    0.00038349 × 0.870545903098978 × 6371000     		do = 2126.93062582533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11006312--0.10967963) × cos(-0.51481955) × R
    0.00038349 × 0.870381586041768 × 6371000     		du = 2126.52916396091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51448573)-sin(-0.51481955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870545903098978-0.870381586041768)×R²
    abs(-0.10967963--0.11006312)×0.000164317057210095×R²
    0.00038349×0.000164317057210095×6371000²
    0.00038349×0.000164317057210095×40589641000000     		ar = 4523059.46825568m²