Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79042 / 83142
↖ ↑ ↗
← S 43.464881°
E 37.095337°		 ← 221.63 m → S 43.464881°
E 37.098083°		 →
↑
221.65 m
↓
↑
221.65 m
↓
S 43.466874°
E 37.095337°		 ← 221.62 m →
49 123 m²		 S 43.466874°
E 37.098083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603046417236328 y=0.634326934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603046417236328 × 217)
    floor (0.603046417236328 × 131072)
    floor (79042.5)     		tx = 79042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634326934814453 × 217)
    floor (0.634326934814453 × 131072)
    floor (83142.5)     		ty = 83142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79042 / 83142 ti = "17/79042/83142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79042/83142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79042 ÷ 217
    79042 ÷ 131072     		x = 0.603042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83142 ÷ 217
    83142 ÷ 131072     		y = 0.634323120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603042602539062 × 2 - 1) × π
    0.206085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64743577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634323120117188 × 2 - 1) × π
    -0.268646240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.843977054710709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64743577} λ = 0.64743577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843977054710709))-π/2
    2×atan(0.429996996711531)-π/2
    2×0.406095523680311-π/2
    0.812191047360622-1.57079632675     		φ = -0.75860528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64743577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.095337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75860528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.464881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79042 KachelY 83142 0.64743577 -0.75860528 37.095337 -43.464881
    Oben rechts KachelX + 1 79043 KachelY 83142 0.64748370 -0.75860528 37.098083 -43.464881
    Unten links KachelX 79042 KachelY + 1 83143 0.64743577 -0.75864007 37.095337 -43.466874
    Unten rechts KachelX + 1 79043 KachelY + 1 83143 0.64748370 -0.75864007 37.098083 -43.466874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75860528--0.75864007) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dl = 221.647089999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75860528--0.75864007) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dr = 221.647089999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64743577-0.64748370) × cos(-0.75860528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725796157956022 × 6371000     		do = 221.630588159787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64743577-0.64748370) × cos(-0.75864007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725772225133737 × 6371000     		du = 221.623279984591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75860528)-sin(-0.75864007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725796157956022-0.725772225133737)×R²
    abs(0.64748370-0.64743577)×2.39328222854107e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39328222854107e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39328222854107e-05×40589641000000     		ar = 49122.9650076093m²