Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79041 / 83775
↖ ↑ ↗
← S 44.713562°
E 37.092590°		 ← 217.05 m → S 44.713562°
E 37.095337°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
S 44.715514°
E 37.092590°		 ← 217.04 m →
47 097 m²		 S 44.715514°
E 37.095337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603038787841797 y=0.639156341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603038787841797 × 217)
    floor (0.603038787841797 × 131072)
    floor (79041.5)     		tx = 79041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639156341552734 × 217)
    floor (0.639156341552734 × 131072)
    floor (83775.5)     		ty = 83775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79041 / 83775 ti = "17/79041/83775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79041/83775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79041 ÷ 217
    79041 ÷ 131072     		x = 0.603034973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83775 ÷ 217
    83775 ÷ 131072     		y = 0.639152526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603034973144531 × 2 - 1) × π
    0.206069946289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.64738783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639152526855469 × 2 - 1) × π
    -0.278305053710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.874321112170204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64738783} λ = 0.64738783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874321112170204))-π/2
    2×atan(0.417145118315609)-π/2
    2×0.395198725217277-π/2
    0.790397450434555-1.57079632675     		φ = -0.78039888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64738783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.092590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78039888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.713562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79041 KachelY 83775 0.64738783 -0.78039888 37.092590 -44.713562
    Oben rechts KachelX + 1 79042 KachelY 83775 0.64743577 -0.78039888 37.095337 -44.713562
    Unten links KachelX 79041 KachelY + 1 83776 0.64738783 -0.78043294 37.092590 -44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 79042 KachelY + 1 83776 0.64743577 -0.78043294 37.095337 -44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78039888--0.78043294) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78039888--0.78043294) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64738783-0.64743577) × cos(-0.78039888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.710632957369947 × 6371000     		do = 217.045596872962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64738783-0.64743577) × cos(-0.78043294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 217.038277722099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78039888)-sin(-0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710632957369947-0.710608993604276)×R²
    abs(0.64743577-0.64738783)×2.39637656709313e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39637656709313e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39637656709313e-05×40589641000000     		ar = 47097.288661295m²