Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79037 / 83137
↖ ↑ ↗
← S 43.454913°
E 37.081604°		 ← 221.71 m → S 43.454913°
E 37.084351°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
S 43.456906°
E 37.081604°		 ← 221.71 m →
49 155 m²		 S 43.456906°
E 37.084351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603008270263672 y=0.634288787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603008270263672 × 217)
    floor (0.603008270263672 × 131072)
    floor (79037.5)     		tx = 79037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634288787841797 × 217)
    floor (0.634288787841797 × 131072)
    floor (83137.5)     		ty = 83137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79037 / 83137 ti = "17/79037/83137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79037/83137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79037 ÷ 217
    79037 ÷ 131072     		x = 0.603004455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83137 ÷ 217
    83137 ÷ 131072     		y = 0.634284973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603004455566406 × 2 - 1) × π
    0.206008911132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.64719608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634284973144531 × 2 - 1) × π
    -0.268569946289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.843737370212608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64719608} λ = 0.64719608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843737370212608))-π/2
    2×atan(0.430100072678235)-π/2
    2×0.406182511895009-π/2
    0.812365023790018-1.57079632675     		φ = -0.75843130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64719608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.081604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75843130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.454913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79037 KachelY 83137 0.64719608 -0.75843130 37.081604 -43.454913
    Oben rechts KachelX + 1 79038 KachelY 83137 0.64724402 -0.75843130 37.084351 -43.454913
    Unten links KachelX 79037 KachelY + 1 83138 0.64719608 -0.75846610 37.081604 -43.456906
    Unten rechts KachelX + 1 79038 KachelY + 1 83138 0.64724402 -0.75846610 37.084351 -43.456906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75843130--0.75846610) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75843130--0.75846610) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64719608-0.64724402) × cos(-0.75843130) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72591582952343 × 6371000     		do = 221.713379410276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64719608-0.64724402) × cos(-0.75846610) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72589189421642 × 6371000     		du = 221.70606895142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75843130)-sin(-0.75846610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72591582952343-0.72589189421642)×R²
    abs(0.64724402-0.64719608)×2.39353070107251e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39353070107251e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39353070107251e-05×40589641000000     		ar = 49155.4403208916m²