Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79026 / 83248
↖ ↑ ↗
← S 43.675818°
E 37.051392°		 ← 220.86 m → S 43.675818°
E 37.054138°		 →
↑
220.88 m
↓
↑
220.88 m
↓
S 43.677805°
E 37.051392°		 ← 220.85 m →
48 782 m²		 S 43.677805°
E 37.054138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602924346923828 y=0.635135650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602924346923828 × 217)
    floor (0.602924346923828 × 131072)
    floor (79026.5)     		tx = 79026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635135650634766 × 217)
    floor (0.635135650634766 × 131072)
    floor (83248.5)     		ty = 83248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79026 / 83248 ti = "17/79026/83248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79026/83248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79026 ÷ 217
    79026 ÷ 131072     		x = 0.602920532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83248 ÷ 217
    83248 ÷ 131072     		y = 0.6351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602920532226562 × 2 - 1) × π
    0.205841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64666878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849058366070435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64666878} λ = 0.64666878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849058366070435))-π/2
    2×atan(0.427817589899094)-π/2
    2×0.40425474879127-π/2
    0.808509497582541-1.57079632675     		φ = -0.76228683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64666878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.051392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76228683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.675818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79026 KachelY 83248 0.64666878 -0.76228683 37.051392 -43.675818
    Oben rechts KachelX + 1 79027 KachelY 83248 0.64671671 -0.76228683 37.054138 -43.675818
    Unten links KachelX 79026 KachelY + 1 83249 0.64666878 -0.76232150 37.051392 -43.677805
    Unten rechts KachelX + 1 79027 KachelY + 1 83249 0.64671671 -0.76232150 37.054138 -43.677805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76228683--0.76232150) × R
    3.46700000000144e-05 × 6371000     		dl = 220.882570000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76228683--0.76232150) × R
    3.46700000000144e-05 × 6371000     		dr = 220.882570000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64666878-0.64671671) × cos(-0.76228683) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723258670588463 × 6371000     		do = 220.855735865618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64666878-0.64671671) × cos(-0.76232150) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723234727841603 × 6371000     		du = 220.848424659833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76228683)-sin(-0.76232150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723258670588463-0.723234727841603)×R²
    abs(0.64671671-0.64666878)×2.39427468600173e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39427468600173e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39427468600173e-05×40589641000000     		ar = 48782.3750830786m²