Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79026 / 83218
↖ ↑ ↗
← S 43.616194°
E 37.051392°		 ← 221.08 m → S 43.616194°
E 37.054138°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 43.618182°
E 37.051392°		 ← 221.07 m →
48 873 m²		 S 43.618182°
E 37.054138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602924346923828 y=0.634906768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602924346923828 × 217)
    floor (0.602924346923828 × 131072)
    floor (79026.5)     		tx = 79026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634906768798828 × 217)
    floor (0.634906768798828 × 131072)
    floor (83218.5)     		ty = 83218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79026 / 83218 ti = "17/79026/83218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79026/83218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79026 ÷ 217
    79026 ÷ 131072     		x = 0.602920532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83218 ÷ 217
    83218 ÷ 131072     		y = 0.634902954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602920532226562 × 2 - 1) × π
    0.205841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64666878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634902954101562 × 2 - 1) × π
    -0.269805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.847620259081833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64666878} λ = 0.64666878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847620259081833))-π/2
    2×atan(0.428433279972962)-π/2
    2×0.404775068700499-π/2
    0.809550137400998-1.57079632675     		φ = -0.76124619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64666878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.051392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76124619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.616194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79026 KachelY 83218 0.64666878 -0.76124619 37.051392 -43.616194
    Oben rechts KachelX + 1 79027 KachelY 83218 0.64671671 -0.76124619 37.054138 -43.616194
    Unten links KachelX 79026 KachelY + 1 83219 0.64666878 -0.76128089 37.051392 -43.618182
    Unten rechts KachelX + 1 79027 KachelY + 1 83219 0.64671671 -0.76128089 37.054138 -43.618182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76124619--0.76128089) × R
    3.46999999999431e-05 × 6371000     		dl = 221.073699999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76124619--0.76128089) × R
    3.46999999999431e-05 × 6371000     		dr = 221.073699999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64666878-0.64671671) × cos(-0.76124619) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723976921116147 × 6371000     		do = 221.0750623048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64666878-0.64671671) × cos(-0.76128089) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723952983780777 × 6371000     		du = 221.067752751478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76124619)-sin(-0.76128089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723976921116147-0.723952983780777)×R²
    abs(0.64671671-0.64666878)×2.39373353700945e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39373353700945e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39373353700945e-05×40589641000000     		ar = 48873.0740311432m²