Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79021 / 83243
↖ ↑ ↗
← S 43.665885°
E 37.037659°		 ← 220.94 m → S 43.665885°
E 37.040405°		 →
↑
220.95 m
↓
↑
220.95 m
↓
S 43.667872°
E 37.037659°		 ← 220.93 m →
48 815 m²		 S 43.667872°
E 37.040405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602886199951172 y=0.635097503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602886199951172 × 217)
    floor (0.602886199951172 × 131072)
    floor (79021.5)     		tx = 79021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635097503662109 × 217)
    floor (0.635097503662109 × 131072)
    floor (83243.5)     		ty = 83243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79021 / 83243 ti = "17/79021/83243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79021/83243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79021 ÷ 217
    79021 ÷ 131072     		x = 0.602882385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83243 ÷ 217
    83243 ÷ 131072     		y = 0.635093688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602882385253906 × 2 - 1) × π
    0.205764770507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.64642909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635093688964844 × 2 - 1) × π
    -0.270187377929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.848818681572334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64642909} λ = 0.64642909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848818681572334))-π/2
    2×atan(0.427920143433163)-π/2
    2×0.404341432910438-π/2
    0.808682865820876-1.57079632675     		φ = -0.76211346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64642909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.037659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76211346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.665885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79021 KachelY 83243 0.64642909 -0.76211346 37.037659 -43.665885
    Oben rechts KachelX + 1 79022 KachelY 83243 0.64647703 -0.76211346 37.040405 -43.665885
    Unten links KachelX 79021 KachelY + 1 83244 0.64642909 -0.76214814 37.037659 -43.667872
    Unten rechts KachelX + 1 79022 KachelY + 1 83244 0.64647703 -0.76214814 37.040405 -43.667872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76211346--0.76214814) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dl = 220.946279999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76211346--0.76214814) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dr = 220.946279999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64642909-0.64647703) × cos(-0.76211346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723378385090774 × 6371000     		do = 220.93837856621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64642909-0.64647703) × cos(-0.76214814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723354439786751 × 6371000     		du = 220.931065054009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76211346)-sin(-0.76214814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723378385090774-0.723354439786751)×R²
    abs(0.64647703-0.64642909)×2.39453040228321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39453040228321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39453040228321e-05×40589641000000     		ar = 48814.7049114707m²