Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7902 / 9681
↖ ↑ ↗
← S 31.071756°
W  6.372070°		 ← 2 092.72 m → S 31.071756°
W  6.350098°		 →
↑
2 092.49 m
↓
↑
2 092.49 m
↓
S 31.090574°
W  6.372070°		 ← 2 092.31 m →
4 378 567 m²		 S 31.090574°
W  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482330322265625 y=0.590911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482330322265625 × 214)
    floor (0.482330322265625 × 16384)
    floor (7902.5)     		tx = 7902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590911865234375 × 214)
    floor (0.590911865234375 × 16384)
    floor (9681.5)     		ty = 9681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7902 / 9681 ti = "14/7902/9681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7902/9681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7902 ÷ 214
    7902 ÷ 16384     		x = 0.4822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9681 ÷ 214
    9681 ÷ 16384     		y = 0.59088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.571024348274109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11121361} λ = -0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571024348274109))-π/2
    2×atan(0.564946440291079)-π/2
    2×0.514245940964341-π/2
    1.02849188192868-1.57079632675     		φ = -0.54230444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54230444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.071756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7902 KachelY 9681 -0.11121361 -0.54230444 -6.372070 -31.071756
    Oben rechts KachelX + 1 7903 KachelY 9681 -0.11083011 -0.54230444 -6.350098 -31.071756
    Unten links KachelX 7902 KachelY + 1 9682 -0.11121361 -0.54263288 -6.372070 -31.090574
    Unten rechts KachelX + 1 7903 KachelY + 1 9682 -0.11083011 -0.54263288 -6.350098 -31.090574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54230444--0.54263288) × R
    0.000328439999999985 × 6371000     		dl = 2092.49123999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54230444--0.54263288) × R
    0.000328439999999985 × 6371000     		dr = 2092.49123999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11121361--0.11083011) × cos(-0.54230444) × R
    0.000383500000000009 × 0.856521609462021 × 6371000     		do = 2092.720833184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11121361--0.11083011) × cos(-0.54263288) × R
    0.000383500000000009 × 0.856352051717002 × 6371000     		du = 2092.30655639109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54230444)-sin(-0.54263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856521609462021-0.856352051717002)×R²
    abs(-0.11083011--0.11121361)×0.0001695577450187×R²
    0.000383500000000009×0.0001695577450187×6371000²
    0.000383500000000009×0.0001695577450187×40589641000000     		ar = 4378566.61528438m²