Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79013 / 84324
↖ ↑ ↗
← S 45.775186°
E 37.015686°		 ← 212.98 m → S 45.775186°
E 37.018432°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
S 45.777102°
E 37.015686°		 ← 212.98 m →
45 374 m²		 S 45.777102°
E 37.018432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602825164794922 y=0.643344879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602825164794922 × 217)
    floor (0.602825164794922 × 131072)
    floor (79013.5)     		tx = 79013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643344879150391 × 217)
    floor (0.643344879150391 × 131072)
    floor (84324.5)     		ty = 84324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79013 / 84324 ti = "17/79013/84324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79013/84324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79013 ÷ 217
    79013 ÷ 131072     		x = 0.602821350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84324 ÷ 217
    84324 ÷ 131072     		y = 0.643341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602821350097656 × 2 - 1) × π
    0.205642700195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.64604560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.28668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.900638470061615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64604560} λ = 0.64604560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900638470061615))-π/2
    2×atan(0.406310160035106)-π/2
    2×0.385934306098496-π/2
    0.771868612196992-1.57079632675     		φ = -0.79892771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64604560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.015686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79892771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.775186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79013 KachelY 84324 0.64604560 -0.79892771 37.015686 -45.775186
    Oben rechts KachelX + 1 79014 KachelY 84324 0.64609353 -0.79892771 37.018432 -45.775186
    Unten links KachelX 79013 KachelY + 1 84325 0.64604560 -0.79896115 37.015686 -45.777102
    Unten rechts KachelX + 1 79014 KachelY + 1 84325 0.64609353 -0.79896115 37.018432 -45.777102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79892771--0.79896115) × R
    3.34400000000512e-05 × 6371000     		dl = 213.046240000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79892771--0.79896115) × R
    3.34400000000512e-05 × 6371000     		dr = 213.046240000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64604560-0.64609353) × cos(-0.79892771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.697475522423784 × 6371000     		do = 212.982541402768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64604560-0.64609353) × cos(-0.79896115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.697451558642 × 6371000     		du = 212.975223773715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79892771)-sin(-0.79896115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697475522423784-0.697451558642)×R²
    abs(0.64609353-0.64604560)×2.39637817838201e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39637817838201e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39637817838201e-05×40589641000000     		ar = 45374.3501392119m²