Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7901 / 9683
↖ ↑ ↗
← S 31.109389°
W  6.394043°		 ← 2 091.84 m → S 31.109389°
W  6.372070°		 →
↑
2 091.66 m
↓
↑
2 091.66 m
↓
S 31.128199°
W  6.394043°		 ← 2 091.42 m →
4 374 986 m²		 S 31.128199°
W  6.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482269287109375 y=0.591033935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482269287109375 × 214)
    floor (0.482269287109375 × 16384)
    floor (7901.5)     		tx = 7901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591033935546875 × 214)
    floor (0.591033935546875 × 16384)
    floor (9683.5)     		ty = 9683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7901 / 9683 ti = "14/7901/9683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7901/9683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7901 ÷ 214
    7901 ÷ 16384     		x = 0.48223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9683 ÷ 214
    9683 ÷ 16384     		y = 0.59100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.1820068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.57179133866803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11159710} λ = -0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57179133866803))-π/2
    2×atan(0.564513297927546)-π/2
    2×0.513917534070204-π/2
    1.02783506814041-1.57079632675     		φ = -0.54296126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54296126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.109389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7901 KachelY 9683 -0.11159710 -0.54296126 -6.394043 -31.109389
    Oben rechts KachelX + 1 7902 KachelY 9683 -0.11121361 -0.54296126 -6.372070 -31.109389
    Unten links KachelX 7901 KachelY + 1 9684 -0.11159710 -0.54328957 -6.394043 -31.128199
    Unten rechts KachelX + 1 7902 KachelY + 1 9684 -0.11121361 -0.54328957 -6.372070 -31.128199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54296126--0.54328957) × R
    0.000328309999999998 × 6371000     		dl = 2091.66300999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54296126--0.54328957) × R
    0.000328309999999998 × 6371000     		dr = 2091.66300999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11159710--0.11121361) × cos(-0.54296126) × R
    0.00038349 × 0.856182432595281 × 6371000     		do = 2091.83758225497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11159710--0.11121361) × cos(-0.54328957) × R
    0.00038349 × 0.856012757335308 × 6371000     		du = 2091.42302915031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54296126)-sin(-0.54328957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856182432595281-0.856012757335308)×R²
    abs(-0.11121361--0.11159710)×0.00016967525997269×R²
    0.00038349×0.00016967525997269×6371000²
    0.00038349×0.00016967525997269×40589641000000     		ar = 4374985.78033101m²