Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7901 / 9672
↖ ↑ ↗
← S 30.902225°
W  6.394043°		 ← 2 096.39 m → S 30.902225°
W  6.372070°		 →
↑
2 096.19 m
↓
↑
2 096.19 m
↓
S 30.921076°
W  6.394043°		 ← 2 095.98 m →
4 393 988 m²		 S 30.921076°
W  6.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482269287109375 y=0.590362548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482269287109375 × 214)
    floor (0.482269287109375 × 16384)
    floor (7901.5)     		tx = 7901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590362548828125 × 214)
    floor (0.590362548828125 × 16384)
    floor (9672.5)     		ty = 9672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7901 / 9672 ti = "14/7901/9672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7901/9672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7901 ÷ 214
    7901 ÷ 16384     		x = 0.48223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9672 ÷ 214
    9672 ÷ 16384     		y = 0.59033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11159710} λ = -0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567572891501465))-π/2
    2×atan(0.566899697360751)-π/2
    2×0.51572537975622-π/2
    1.03145075951244-1.57079632675     		φ = -0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7901 KachelY 9672 -0.11159710 -0.53934557 -6.394043 -30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 7902 KachelY 9672 -0.11121361 -0.53934557 -6.372070 -30.902225
    Unten links KachelX 7901 KachelY + 1 9673 -0.11159710 -0.53967459 -6.394043 -30.921076
    Unten rechts KachelX + 1 7902 KachelY + 1 9673 -0.11121361 -0.53967459 -6.372070 -30.921076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53934557--0.53967459) × R
    0.000329019999999902 × 6371000     		dl = 2096.18641999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53934557--0.53967459) × R
    0.000329019999999902 × 6371000     		dr = 2096.18641999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11159710--0.11121361) × cos(-0.53934557) × R
    0.00038349 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 2096.38814576676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11159710--0.11121361) × cos(-0.53967459) × R
    0.00038349 × 0.857875940941814 × 6371000     		du = 2095.97518689421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53934557)-sin(-0.53967459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.857875940941814)×R²
    abs(-0.11121361--0.11159710)×0.000169022745869829×R²
    0.00038349×0.000169022745869829×6371000²
    0.00038349×0.000169022745869829×40589641000000     		ar = 4393987.58245361m²