Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7901 / 9402
↖ ↑ ↗
← S 25.681137°
W  6.394043°		 ← 2 201.87 m → S 25.681137°
W  6.372070°		 →
↑
2 201.75 m
↓
↑
2 201.75 m
↓
S 25.700938°
W  6.394043°		 ← 2 201.51 m →
4 847 580 m²		 S 25.700938°
W  6.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482269287109375 y=0.573883056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482269287109375 × 214)
    floor (0.482269287109375 × 16384)
    floor (7901.5)     		tx = 7901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573883056640625 × 214)
    floor (0.573883056640625 × 16384)
    floor (9402.5)     		ty = 9402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7901 / 9402 ti = "14/7901/9402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7901/9402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7901 ÷ 214
    7901 ÷ 16384     		x = 0.48223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9402 ÷ 214
    9402 ÷ 16384     		y = 0.5738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11159710} λ = -0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464029188322144))-π/2
    2×atan(0.628745202181756)-π/2
    2×0.561287962321148-π/2
    1.1225759246423-1.57079632675     		φ = -0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7901 KachelY 9402 -0.11159710 -0.44822040 -6.394043 -25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 7902 KachelY 9402 -0.11121361 -0.44822040 -6.372070 -25.681137
    Unten links KachelX 7901 KachelY + 1 9403 -0.11159710 -0.44856599 -6.394043 -25.700938
    Unten rechts KachelX + 1 7902 KachelY + 1 9403 -0.11121361 -0.44856599 -6.372070 -25.700938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44822040--0.44856599) × R
    0.000345590000000007 × 6371000     		dl = 2201.75389000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44822040--0.44856599) × R
    0.000345590000000007 × 6371000     		dr = 2201.75389000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11159710--0.11121361) × cos(-0.44822040) × R
    0.00038349 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 2201.87339966903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11159710--0.11121361) × cos(-0.44856599) × R
    0.00038349 × 0.901069921231817 × 6371000     		du = 2201.50735837771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44822040)-sin(-0.44856599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901069921231817)×R²
    abs(-0.11121361--0.11159710)×0.000149819529913664×R²
    0.00038349×0.000149819529913664×6371000²
    0.00038349×0.000149819529913664×40589641000000     		ar = 4847580.40483655m²