Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79008 / 84319
↖ ↑ ↗
← S 45.765607°
E 37.001953°		 ← 213.06 m → S 45.765607°
E 37.004700°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
S 45.767523°
E 37.001953°		 ← 213.06 m →
45 392 m²		 S 45.767523°
E 37.004700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602787017822266 y=0.643306732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602787017822266 × 217)
    floor (0.602787017822266 × 131072)
    floor (79008.5)     		tx = 79008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643306732177734 × 217)
    floor (0.643306732177734 × 131072)
    floor (84319.5)     		ty = 84319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79008 / 84319 ti = "17/79008/84319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79008/84319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79008 ÷ 217
    79008 ÷ 131072     		x = 0.602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84319 ÷ 217
    84319 ÷ 131072     		y = 0.643302917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602783203125 × 2 - 1) × π
    0.20556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64580591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643302917480469 × 2 - 1) × π
    -0.286605834960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.900398785563515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64580591} λ = 0.64580591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900398785563515))-π/2
    2×atan(0.406407557953806)-π/2
    2×0.386017900311841-π/2
    0.772035800623681-1.57079632675     		φ = -0.79876053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64580591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.001953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79876053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.765607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79008 KachelY 84319 0.64580591 -0.79876053 37.001953 -45.765607
    Oben rechts KachelX + 1 79009 KachelY 84319 0.64585385 -0.79876053 37.004700 -45.765607
    Unten links KachelX 79008 KachelY + 1 84320 0.64580591 -0.79879397 37.001953 -45.767523
    Unten rechts KachelX + 1 79009 KachelY + 1 84320 0.64585385 -0.79879397 37.004700 -45.767523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79876053--0.79879397) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dl = 213.046239999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79876053--0.79879397) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dr = 213.046239999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64580591-0.64585385) × cos(-0.79876053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697595315303218 × 6371000     		do = 213.063565396879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64580591-0.64585385) × cos(-0.79879397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697571355420939 × 6371000     		du = 213.056247432104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79876053)-sin(-0.79879397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697595315303218-0.697571355420939)×R²
    abs(0.64585385-0.64580591)×2.3959882279434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3959882279434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3959882279434e-05×40589641000000     		ar = 45391.611960407m²