Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79006 / 83242
↖ ↑ ↗
← S 43.663898°
E 36.996460°		 ← 220.90 m → S 43.663898°
E 36.999206°		 →
↑
220.95 m
↓
↑
220.95 m
↓
S 43.665885°
E 36.996460°		 ← 220.89 m →
48 806 m²		 S 43.665885°
E 36.999206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602771759033203 y=0.635089874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602771759033203 × 217)
    floor (0.602771759033203 × 131072)
    floor (79006.5)     		tx = 79006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635089874267578 × 217)
    floor (0.635089874267578 × 131072)
    floor (83242.5)     		ty = 83242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79006 / 83242 ti = "17/79006/83242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79006/83242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79006 ÷ 217
    79006 ÷ 131072     		x = 0.602767944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83242 ÷ 217
    83242 ÷ 131072     		y = 0.635086059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602767944335938 × 2 - 1) × π
    0.205535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64571004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635086059570312 × 2 - 1) × π
    -0.270172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848770744672714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64571004} λ = 0.64571004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848770744672714))-π/2
    2×atan(0.427940657089801)-π/2
    2×0.40435877145587-π/2
    0.80871754291174-1.57079632675     		φ = -0.76207878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64571004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.996460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76207878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.663898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79006 KachelY 83242 0.64571004 -0.76207878 36.996460 -43.663898
    Oben rechts KachelX + 1 79007 KachelY 83242 0.64575797 -0.76207878 36.999206 -43.663898
    Unten links KachelX 79006 KachelY + 1 83243 0.64571004 -0.76211346 36.996460 -43.665885
    Unten rechts KachelX + 1 79007 KachelY + 1 83243 0.64575797 -0.76211346 36.999206 -43.665885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76207878--0.76211346) × R
    3.46800000000647e-05 × 6371000     		dl = 220.946280000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76207878--0.76211346) × R
    3.46800000000647e-05 × 6371000     		dr = 220.946280000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64571004-0.64575797) × cos(-0.76207878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723402329524788 × 6371000     		do = 220.899603850553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64571004-0.64575797) × cos(-0.76211346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723378385090774 × 6371000     		du = 220.892292129576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76207878)-sin(-0.76211346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723402329524788-0.723378385090774)×R²
    abs(0.64575797-0.64571004)×2.39444340139894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39444340139894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39444340139894e-05×40589641000000     		ar = 48806.1379804205m²