Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79005 / 83239
↖ ↑ ↗
← S 43.657937°
E 36.993713°		 ← 220.97 m → S 43.657937°
E 36.996460°		 →
↑
220.95 m
↓
↑
220.95 m
↓
S 43.659924°
E 36.993713°		 ← 220.96 m →
48 821 m²		 S 43.659924°
E 36.996460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602764129638672 y=0.635066986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602764129638672 × 217)
    floor (0.602764129638672 × 131072)
    floor (79005.5)     		tx = 79005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635066986083984 × 217)
    floor (0.635066986083984 × 131072)
    floor (83239.5)     		ty = 83239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79005 / 83239 ti = "17/79005/83239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79005/83239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79005 ÷ 217
    79005 ÷ 131072     		x = 0.602760314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83239 ÷ 217
    83239 ÷ 131072     		y = 0.635063171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602760314941406 × 2 - 1) × π
    0.205520629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.64566210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635063171386719 × 2 - 1) × π
    -0.270126342773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.848626933973854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64566210} λ = 0.64566210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848626933973854))-π/2
    2×atan(0.428002203960211)-π/2
    2×0.404410790535331-π/2
    0.808821581070661-1.57079632675     		φ = -0.76197475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64566210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.993713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76197475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.657937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79005 KachelY 83239 0.64566210 -0.76197475 36.993713 -43.657937
    Oben rechts KachelX + 1 79006 KachelY 83239 0.64571004 -0.76197475 36.996460 -43.657937
    Unten links KachelX 79005 KachelY + 1 83240 0.64566210 -0.76200943 36.993713 -43.659924
    Unten rechts KachelX + 1 79006 KachelY + 1 83240 0.64571004 -0.76200943 36.996460 -43.659924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76197475--0.76200943) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dl = 220.946279999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76197475--0.76200943) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dr = 220.946279999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64566210-0.64571004) × cos(-0.76197475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723474150702974 × 6371000     		do = 220.967627849182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64566210-0.64571004) × cos(-0.76200943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		du = 220.96031539985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76197475)-sin(-0.76200943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723474150702974-0.723450208878909)×R²
    abs(0.64571004-0.64566210)×2.39418240652878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39418240652878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39418240652878e-05×40589641000000     		ar = 48821.1675493249m²