Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79004 / 83241
↖ ↑ ↗
← S 43.661911°
E 36.990967°		 ← 220.95 m → S 43.661911°
E 36.993713°		 →
↑
220.88 m
↓
↑
220.88 m
↓
S 43.663898°
E 36.990967°		 ← 220.95 m →
48 804 m²		 S 43.663898°
E 36.993713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602756500244141 y=0.635082244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602756500244141 × 217)
    floor (0.602756500244141 × 131072)
    floor (79004.5)     		tx = 79004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635082244873047 × 217)
    floor (0.635082244873047 × 131072)
    floor (83241.5)     		ty = 83241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79004 / 83241 ti = "17/79004/83241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79004/83241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79004 ÷ 217
    79004 ÷ 131072     		x = 0.602752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83241 ÷ 217
    83241 ÷ 131072     		y = 0.635078430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602752685546875 × 2 - 1) × π
    0.20550537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64561416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635078430175781 × 2 - 1) × π
    -0.270156860351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.848722807773094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64561416} λ = 0.64561416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848722807773094))-π/2
    2×atan(0.427961171729823)-π/2
    2×0.404376110575164-π/2
    0.808752221150328-1.57079632675     		φ = -0.76204411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64561416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.990967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76204411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.661911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79004 KachelY 83241 0.64561416 -0.76204411 36.990967 -43.661911
    Oben rechts KachelX + 1 79005 KachelY 83241 0.64566210 -0.76204411 36.993713 -43.661911
    Unten links KachelX 79004 KachelY + 1 83242 0.64561416 -0.76207878 36.990967 -43.663898
    Unten rechts KachelX + 1 79005 KachelY + 1 83242 0.64566210 -0.76207878 36.993713 -43.663898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76204411--0.76207878) × R
    3.46699999999034e-05 × 6371000     		dl = 220.882569999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76204411--0.76207878) × R
    3.46699999999034e-05 × 6371000     		dr = 220.882569999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64561416-0.64566210) × cos(-0.76204411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723426266184748 × 6371000     		do = 220.953002684769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64561416-0.64566210) × cos(-0.76207878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723402329524788 × 6371000     		du = 220.945691812687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76204411)-sin(-0.76207878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723426266184748-0.723402329524788)×R²
    abs(0.64566210-0.64561416)×2.39366599597002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39366599597002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39366599597002e-05×40589641000000     		ar = 48803.8596649524m²