Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79002 / 83194
↖ ↑ ↗
← S 43.568452°
E 36.985474°		 ← 221.30 m → S 43.568452°
E 36.988220°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
S 43.570442°
E 36.985474°		 ← 221.29 m →
48 978 m²		 S 43.570442°
E 36.988220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602741241455078 y=0.634723663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602741241455078 × 217)
    floor (0.602741241455078 × 131072)
    floor (79002.5)     		tx = 79002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634723663330078 × 217)
    floor (0.634723663330078 × 131072)
    floor (83194.5)     		ty = 83194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79002 / 83194 ti = "17/79002/83194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79002/83194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79002 ÷ 217
    79002 ÷ 131072     		x = 0.602737426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83194 ÷ 217
    83194 ÷ 131072     		y = 0.634719848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602737426757812 × 2 - 1) × π
    0.205474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64551829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634719848632812 × 2 - 1) × π
    -0.269439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.846469773490952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64551829} λ = 0.64551829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846469773490952))-π/2
    2×atan(0.4289264699378)-π/2
    2×0.405191696463354-π/2
    0.810383392926707-1.57079632675     		φ = -0.76041293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64551829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.985474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76041293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.568452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79002 KachelY 83194 0.64551829 -0.76041293 36.985474 -43.568452
    Oben rechts KachelX + 1 79003 KachelY 83194 0.64556623 -0.76041293 36.988220 -43.568452
    Unten links KachelX 79002 KachelY + 1 83195 0.64551829 -0.76044767 36.985474 -43.570442
    Unten rechts KachelX + 1 79003 KachelY + 1 83195 0.64556623 -0.76044767 36.988220 -43.570442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76041293--0.76044767) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76041293--0.76044767) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64551829-0.64556623) × cos(-0.76041293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724551472620337 × 6371000     		do = 221.296669693011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64551829-0.64556623) × cos(-0.76044767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724527528656252 × 6371000     		du = 221.289356590062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76041293)-sin(-0.76044767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724551472620337-0.724527528656252)×R²
    abs(0.64556623-0.64551829)×2.39439640854489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39439640854489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39439640854489e-05×40589641000000     		ar = 48978.4595157338m²