Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 790 / 758
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E 97.734375°		 ← 16.476 km → S 65.072130°
E 98.085938°		 →
↑
16.431 km
↓
↑
16.431 km
↓
S 65.219894°
E 97.734375°		 ← 16.385 km →
269.965 km²		 S 65.219894°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77197265625 y=0.74072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77197265625 × 210)
    floor (0.77197265625 × 1024)
    floor (790.5)     		tx = 790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74072265625 × 210)
    floor (0.74072265625 × 1024)
    floor (758.5)     		ty = 758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 790 / 758 ti = "10/790/758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/790/758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 790 ÷ 210
    790 ÷ 1024     		x = 0.771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 758 ÷ 210
    758 ÷ 1024     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771484375 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70578664} λ = 1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 790 KachelY 758 1.70578664 -1.13572292 97.734375 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 791 KachelY 758 1.71192256 -1.13572292 98.085938 -65.072130
    Unten links KachelX 790 KachelY + 1 759 1.70578664 -1.13830189 97.734375 -65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 791 KachelY + 1 759 1.71192256 -1.13830189 98.085938 -65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13830189) × R
    0.00257896999999985 × 6371000     		dl = 16430.617869999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13830189) × R
    0.00257896999999985 × 6371000     		dr = 16430.617869999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70578664-1.71192256) × cos(-1.13572292) × R
    0.00613592000000018 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 16476.3551119379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70578664-1.71192256) × cos(-1.13830189) × R
    0.00613592000000018 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 16384.8756615629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.419136860759979)×R²
    abs(1.71192256-1.70578664)×0.00234010989440531×R²
    0.00613592000000018×0.00234010989440531×6371000²
    0.00613592000000018×0.00234010989440531×40589641000000     		ar = 269965312.418865m²