Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78996 / 59764
↖ ↑ ↗
← N 15.654776°
E 36.968994°		 ← 294.10 m → N 15.654776°
E 36.971741°		 →
↑
294.09 m
↓
↑
294.09 m
↓
N 15.652131°
E 36.968994°		 ← 294.10 m →
86 490 m²		 N 15.652131°
E 36.971741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602695465087891 y=0.455966949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602695465087891 × 217)
    floor (0.602695465087891 × 131072)
    floor (78996.5)     		tx = 78996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455966949462891 × 217)
    floor (0.455966949462891 × 131072)
    floor (59764.5)     		ty = 59764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78996 / 59764 ti = "17/78996/59764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78996/59764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78996 ÷ 217
    78996 ÷ 131072     		x = 0.602691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59764 ÷ 217
    59764 ÷ 131072     		y = 0.455963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602691650390625 × 2 - 1) × π
    0.20538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64523067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455963134765625 × 2 - 1) × π
    0.08807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.276691784606964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64523067} λ = 0.64523067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276691784606964))-π/2
    2×atan(1.31875984630524)-π/2
    2×0.922011852902702-π/2
    1.8440237058054-1.57079632675     		φ = 0.27322738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64523067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.968994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27322738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.654776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78996 KachelY 59764 0.64523067 0.27322738 36.968994 15.654776
    Oben rechts KachelX + 1 78997 KachelY 59764 0.64527861 0.27322738 36.971741 15.654776
    Unten links KachelX 78996 KachelY + 1 59765 0.64523067 0.27318122 36.968994 15.652131
    Unten rechts KachelX + 1 78997 KachelY + 1 59765 0.64527861 0.27318122 36.971741 15.652131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27322738-0.27318122) × R
    4.61600000000173e-05 × 6371000     		dl = 294.08536000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27322738-0.27318122) × R
    4.61600000000173e-05 × 6371000     		dr = 294.08536000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64523067-0.64527861) × cos(0.27322738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962905034850535 × 6371000     		do = 294.095982818758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64523067-0.64527861) × cos(0.27318122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962917489662023 × 6371000     		du = 294.099786838773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27322738)-sin(0.27318122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962905034850535-0.962917489662023)×R²
    abs(0.64527861-0.64523067)×1.24548114874834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.24548114874834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.24548114874834e-05×40589641000000     		ar = 86489.882350591m²