Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78995 / 83219
↖ ↑ ↗
← S 43.618182°
E 36.966247°		 ← 221.11 m → S 43.618182°
E 36.968994°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
S 43.620171°
E 36.966247°		 ← 221.11 m →
48 896 m²		 S 43.620171°
E 36.968994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602687835693359 y=0.634914398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602687835693359 × 217)
    floor (0.602687835693359 × 131072)
    floor (78995.5)     		tx = 78995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634914398193359 × 217)
    floor (0.634914398193359 × 131072)
    floor (83219.5)     		ty = 83219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78995 / 83219 ti = "17/78995/83219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78995/83219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78995 ÷ 217
    78995 ÷ 131072     		x = 0.602684020996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83219 ÷ 217
    83219 ÷ 131072     		y = 0.634910583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602684020996094 × 2 - 1) × π
    0.205368041992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.64518273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634910583496094 × 2 - 1) × π
    -0.269821166992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.847668195981453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64518273} λ = 0.64518273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847668195981453))-π/2
    2×atan(0.428412742702077)-π/2
    2×0.4047577163829-π/2
    0.8095154327658-1.57079632675     		φ = -0.76128089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64518273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.966247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76128089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.618182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78995 KachelY 83219 0.64518273 -0.76128089 36.966247 -43.618182
    Oben rechts KachelX + 1 78996 KachelY 83219 0.64523067 -0.76128089 36.968994 -43.618182
    Unten links KachelX 78995 KachelY + 1 83220 0.64518273 -0.76131560 36.966247 -43.620171
    Unten rechts KachelX + 1 78996 KachelY + 1 83220 0.64523067 -0.76131560 36.968994 -43.620171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76128089--0.76131560) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76128089--0.76131560) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64518273-0.64523067) × cos(-0.76128089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723952983780777 × 6371000     		do = 221.113875796307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64518273-0.64523067) × cos(-0.76131560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723929038674958 × 6371000     		du = 221.106562344643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76128089)-sin(-0.76131560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723952983780777-0.723929038674958)×R²
    abs(0.64523067-0.64518273)×2.39451058190454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39451058190454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39451058190454e-05×40589641000000     		ar = 48895.7411748307m²