Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7899 / 9708
↖ ↑ ↗
← S 31.578536°
W  6.437988°		 ← 2 081.43 m → S 31.578536°
W  6.416016°		 →
↑
2 081.21 m
↓
↑
2 081.21 m
↓
S 31.597252°
W  6.437988°		 ← 2 081.01 m →
4 331 470 m²		 S 31.597252°
W  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482147216796875 y=0.592559814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482147216796875 × 214)
    floor (0.482147216796875 × 16384)
    floor (7899.5)     		tx = 7899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592559814453125 × 214)
    floor (0.592559814453125 × 16384)
    floor (9708.5)     		ty = 9708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7899 / 9708 ti = "14/7899/9708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7899/9708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7899 ÷ 214
    7899 ÷ 16384     		x = 0.48211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9708 ÷ 214
    9708 ÷ 16384     		y = 0.592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48211669921875 × 2 - 1) × π
    -0.0357666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11236409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.18505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.581378718592041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11236409} λ = -0.11236409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581378718592041))-π/2
    2×atan(0.559126956178881)-π/2
    2×0.50982345532971-π/2
    1.01964691065942-1.57079632675     		φ = -0.55114942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11236409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55114942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.578536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7899 KachelY 9708 -0.11236409 -0.55114942 -6.437988 -31.578536
    Oben rechts KachelX + 1 7900 KachelY 9708 -0.11198060 -0.55114942 -6.416016 -31.578536
    Unten links KachelX 7899 KachelY + 1 9709 -0.11236409 -0.55147609 -6.437988 -31.597252
    Unten rechts KachelX + 1 7900 KachelY + 1 9709 -0.11198060 -0.55147609 -6.416016 -31.597252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55114942--0.55147609) × R
    0.000326669999999973 × 6371000     		dl = 2081.21456999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55114942--0.55147609) × R
    0.000326669999999973 × 6371000     		dr = 2081.21456999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11236409--0.11198060) × cos(-0.55114942) × R
    0.00038349 × 0.85192317187383 × 6371000     		do = 2081.43129346586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11236409--0.11198060) × cos(-0.55147609) × R
    0.00038349 × 0.851752060190113 × 6371000     		du = 2081.01323086945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55114942)-sin(-0.55147609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85192317187383-0.851752060190113)×R²
    abs(-0.11198060--0.11236409)×0.000171111683717973×R²
    0.00038349×0.000171111683717973×6371000²
    0.00038349×0.000171111683717973×40589641000000     		ar = 4331470.13395125m²