Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78983 / 61833
↖ ↑ ↗
← N 10.117598°
E 36.933289°		 ← 300.68 m → N 10.117598°
E 36.936035°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.114894°
E 36.933289°		 ← 300.68 m →
90 398 m²		 N 10.114894°
E 36.936035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602596282958984 y=0.471752166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602596282958984 × 217)
    floor (0.602596282958984 × 131072)
    floor (78983.5)     		tx = 78983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471752166748047 × 217)
    floor (0.471752166748047 × 131072)
    floor (61833.5)     		ty = 61833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78983 / 61833 ti = "17/78983/61833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78983/61833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78983 ÷ 217
    78983 ÷ 131072     		x = 0.602592468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61833 ÷ 217
    61833 ÷ 131072     		y = 0.471748352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602592468261719 × 2 - 1) × π
    0.205184936523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.64460749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471748352050781 × 2 - 1) × π
    0.0565032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.177510339293068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64460749} λ = 0.64460749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177510339293068))-π/2
    2×atan(1.19424040544017)-π/2
    2×0.873690860159548-π/2
    1.7473817203191-1.57079632675     		φ = 0.17658539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64460749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.933289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17658539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.117598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78983 KachelY 61833 0.64460749 0.17658539 36.933289 10.117598
    Oben rechts KachelX + 1 78984 KachelY 61833 0.64465543 0.17658539 36.936035 10.117598
    Unten links KachelX 78983 KachelY + 1 61834 0.64460749 0.17653820 36.933289 10.114894
    Unten rechts KachelX + 1 78984 KachelY + 1 61834 0.64465543 0.17653820 36.936035 10.114894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17658539-0.17653820) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17658539-0.17653820) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64460749-0.64465543) × cos(0.17658539) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.984449272184466 × 6371000     		do = 300.676147449901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64460749-0.64465543) × cos(0.17653820) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.984457560912864 × 6371000     		du = 300.678679040906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17658539)-sin(0.17653820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984449272184466-0.984457560912864)×R²
    abs(0.64465543-0.64460749)×8.2887283974209e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.2887283974209e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.2887283974209e-06×40589641000000     		ar = 90397.9096087094m²