Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7898 / 10843
↖ ↑ ↗
← N 76.065124°
W136.614990°		 ← 147.10 m → N 76.065124°
W136.609497°		 →
↑
147.11 m
↓
↑
147.11 m
↓
N 76.063801°
W136.614990°		 ← 147.12 m →
21 641 m²		 N 76.063801°
W136.609497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120521545410156 y=0.165458679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120521545410156 × 216)
    floor (0.120521545410156 × 65536)
    floor (7898.5)     		tx = 7898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165458679199219 × 216)
    floor (0.165458679199219 × 65536)
    floor (10843.5)     		ty = 10843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7898 / 10843 ti = "16/7898/10843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7898/10843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7898 ÷ 216
    7898 ÷ 65536     		x = 0.120513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10843 ÷ 216
    10843 ÷ 65536     		y = 0.165451049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.75897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38438139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165451049804688 × 2 - 1) × π
    0.669097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10203304833946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38438139} λ = -2.38438139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10203304833946))-π/2
    2×atan(8.18278901874698)-π/2
    2×1.4491915910334-π/2
    2.8983831820668-1.57079632675     		φ = 1.32758686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38438139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.614990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32758686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.065124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7898 KachelY 10843 -2.38438139 1.32758686 -136.614990 76.065124
    Oben rechts KachelX + 1 7899 KachelY 10843 -2.38428551 1.32758686 -136.609497 76.065124
    Unten links KachelX 7898 KachelY + 1 10844 -2.38438139 1.32756377 -136.614990 76.063801
    Unten rechts KachelX + 1 7899 KachelY + 1 10844 -2.38428551 1.32756377 -136.609497 76.063801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32758686-1.32756377) × R
    2.30900000000034e-05 × 6371000     		dl = 147.106390000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32758686-1.32756377) × R
    2.30900000000034e-05 × 6371000     		dr = 147.106390000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38438139--2.38428551) × cos(1.32758686) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.240818873804076 × 6371000     		do = 147.104565475057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38438139--2.38428551) × cos(1.32756377) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.240841284202904 × 6371000     		du = 147.118254900348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32758686)-sin(1.32756377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240818873804076-0.240841284202904)×R²
    abs(-2.38428551--2.38438139)×2.24103988281654e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.24103988281654e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.24103988281654e-05×40589641000000     		ar = 21641.0284816118m²