Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78979 / 59778
↖ ↑ ↗
← N 15.617747°
E 36.922302°		 ← 294.15 m → N 15.617747°
E 36.925049°		 →
↑
294.15 m
↓
↑
294.15 m
↓
N 15.615101°
E 36.922302°		 ← 294.15 m →
86 524 m²		 N 15.615101°
E 36.925049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602565765380859 y=0.456073760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602565765380859 × 217)
    floor (0.602565765380859 × 131072)
    floor (78979.5)     		tx = 78979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456073760986328 × 217)
    floor (0.456073760986328 × 131072)
    floor (59778.5)     		ty = 59778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78979 / 59778 ti = "17/78979/59778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78979/59778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78979 ÷ 217
    78979 ÷ 131072     		x = 0.602561950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59778 ÷ 217
    59778 ÷ 131072     		y = 0.456069946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602561950683594 × 2 - 1) × π
    0.205123901367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.64441574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456069946289062 × 2 - 1) × π
    0.087860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.276020668012283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64441574} λ = 0.64441574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276020668012283))-π/2
    2×atan(1.31787510160462)-π/2
    2×0.921688712892563-π/2
    1.84337742578513-1.57079632675     		φ = 0.27258110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64441574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.922302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27258110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.617747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78979 KachelY 59778 0.64441574 0.27258110 36.922302 15.617747
    Oben rechts KachelX + 1 78980 KachelY 59778 0.64446368 0.27258110 36.925049 15.617747
    Unten links KachelX 78979 KachelY + 1 59779 0.64441574 0.27253493 36.922302 15.615101
    Unten rechts KachelX + 1 78980 KachelY + 1 59779 0.64446368 0.27253493 36.925049 15.615101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27258110-0.27253493) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dl = 294.149070000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27258110-0.27253493) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dr = 294.149070000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64441574-0.64446368) × cos(0.27258110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963079226262802 × 6371000     		do = 294.149185359751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64441574-0.64446368) × cos(0.27253493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963091655037585 × 6371000     		du = 294.152981427486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27258110)-sin(0.27253493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963079226262802-0.963091655037585)×R²
    abs(0.64446368-0.64441574)×1.24287747821361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.24287747821361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.24287747821361e-05×40589641000000     		ar = 86524.2676350707m²