Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78976 / 83584
↖ ↑ ↗
← S 44.339565°
E 36.914062°		 ← 218.44 m → S 44.339565°
E 36.916809°		 →
↑
218.46 m
↓
↑
218.46 m
↓
S 44.341530°
E 36.914062°		 ← 218.44 m →
47 721 m²		 S 44.341530°
E 36.916809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602542877197266 y=0.637699127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602542877197266 × 217)
    floor (0.602542877197266 × 131072)
    floor (78976.5)     		tx = 78976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637699127197266 × 217)
    floor (0.637699127197266 × 131072)
    floor (83584.5)     		ty = 83584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78976 / 83584 ti = "17/78976/83584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78976/83584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78976 ÷ 217
    78976 ÷ 131072     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83584 ÷ 217
    83584 ÷ 131072     		y = 0.6376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865165164342773))-π/2
    2×atan(0.420982015667029)-π/2
    2×0.398462462165216-π/2
    0.796924924330431-1.57079632675     		φ = -0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78976 KachelY 83584 0.64427193 -0.77387140 36.914062 -44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 78977 KachelY 83584 0.64431987 -0.77387140 36.916809 -44.339565
    Unten links KachelX 78976 KachelY + 1 83585 0.64427193 -0.77390569 36.914062 -44.341530
    Unten rechts KachelX + 1 78977 KachelY + 1 83585 0.64431987 -0.77390569 36.916809 -44.341530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77387140--0.77390569) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dl = 218.461589999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77387140--0.77390569) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dr = 218.461589999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.64431987) × cos(-0.77387140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 218.443628553612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.64431987) × cos(-0.77390569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715186312436833 × 6371000     		du = 218.436308713748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77387140)-sin(-0.77390569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.715186312436833)×R²
    abs(0.64431987-0.64427193)×2.39660215424209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39660215424209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39660215424209e-05×40589641000000     		ar = 47720.7428720148m²