Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78976 / 59775
↖ ↑ ↗
← N 15.625682°
E 36.914062°		 ← 294.14 m → N 15.625682°
E 36.916809°		 →
↑
294.15 m
↓
↑
294.15 m
↓
N 15.623037°
E 36.914062°		 ← 294.14 m →
86 521 m²		 N 15.623037°
E 36.916809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602542877197266 y=0.456050872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602542877197266 × 217)
    floor (0.602542877197266 × 131072)
    floor (78976.5)     		tx = 78976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456050872802734 × 217)
    floor (0.456050872802734 × 131072)
    floor (59775.5)     		ty = 59775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78976 / 59775 ti = "17/78976/59775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78976/59775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78976 ÷ 217
    78976 ÷ 131072     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59775 ÷ 217
    59775 ÷ 131072     		y = 0.456047058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456047058105469 × 2 - 1) × π
    0.0879058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276164478711144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276164478711144))-π/2
    2×atan(1.31806463977247)-π/2
    2×0.921757962100104-π/2
    1.84351592420021-1.57079632675     		φ = 0.27271960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27271960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.625682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78976 KachelY 59775 0.64427193 0.27271960 36.914062 15.625682
    Oben rechts KachelX + 1 78977 KachelY 59775 0.64431987 0.27271960 36.916809 15.625682
    Unten links KachelX 78976 KachelY + 1 59776 0.64427193 0.27267343 36.914062 15.623037
    Unten rechts KachelX + 1 78977 KachelY + 1 59776 0.64431987 0.27267343 36.916809 15.623037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27271960-0.27267343) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dl = 294.149070000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27271960-0.27267343) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dr = 294.149070000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.64431987) × cos(0.27271960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963041930314281 × 6371000     		do = 294.137794217075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.64431987) × cos(0.27267343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963054365247437 × 6371000     		du = 294.141592165736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27271960)-sin(0.27267343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963041930314281-0.963054365247437)×R²
    abs(0.64431987-0.64427193)×1.24349331561691e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.24349331561691e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.24349331561691e-05×40589641000000     		ar = 86520.9172176299m²