Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78971 / 59740
↖ ↑ ↗
← N 15.718239°
E 36.900330°		 ← 293.94 m → N 15.718239°
E 36.903076°		 →
↑
294.02 m
↓
↑
294.02 m
↓
N 15.715595°
E 36.900330°		 ← 293.95 m →
86 426 m²		 N 15.715595°
E 36.903076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602504730224609 y=0.455783843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602504730224609 × 217)
    floor (0.602504730224609 × 131072)
    floor (78971.5)     		tx = 78971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455783843994141 × 217)
    floor (0.455783843994141 × 131072)
    floor (59740.5)     		ty = 59740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78971 / 59740 ti = "17/78971/59740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78971/59740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78971 ÷ 217
    78971 ÷ 131072     		x = 0.602500915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59740 ÷ 217
    59740 ÷ 131072     		y = 0.455780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602500915527344 × 2 - 1) × π
    0.205001831054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.64403225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455780029296875 × 2 - 1) × π
    0.08843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.277842270197845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64403225} λ = 0.64403225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.277842270197845))-π/2
    2×atan(1.32027793360758)-π/2
    2×0.922565671003379-π/2
    1.84513134200676-1.57079632675     		φ = 0.27433502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64403225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.900330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27433502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.718239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78971 KachelY 59740 0.64403225 0.27433502 36.900330 15.718239
    Oben rechts KachelX + 1 78972 KachelY 59740 0.64408018 0.27433502 36.903076 15.718239
    Unten links KachelX 78971 KachelY + 1 59741 0.64403225 0.27428887 36.900330 15.715595
    Unten rechts KachelX + 1 78972 KachelY + 1 59741 0.64408018 0.27428887 36.903076 15.715595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27433502-0.27428887) × R
    4.61499999999671e-05 × 6371000     		dl = 294.02164999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27433502-0.27428887) × R
    4.61499999999671e-05 × 6371000     		dr = 294.02164999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64403225-0.64408018) × cos(0.27433502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.962605558105633 × 6371000     		do = 293.943187312599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64403225-0.64408018) × cos(0.27428887) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.962618059433211 × 6371000     		du = 293.947004743366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27433502)-sin(0.27428887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962605558105633-0.962618059433211)×R²
    abs(0.64408018-0.64403225)×1.25013275775743e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.25013275775743e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.25013275775743e-05×40589641000000     		ar = 86426.222158802m²