Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7897 / 9685
↖ ↑ ↗
← S 31.147006°
W  6.481933°		 ← 2 091.01 m → S 31.147006°
W  6.459961°		 →
↑
2 090.83 m
↓
↑
2 090.83 m
↓
S 31.165810°
W  6.481933°		 ← 2 090.59 m →
4 371 519 m²		 S 31.165810°
W  6.459961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482025146484375 y=0.591156005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482025146484375 × 214)
    floor (0.482025146484375 × 16384)
    floor (7897.5)     		tx = 7897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591156005859375 × 214)
    floor (0.591156005859375 × 16384)
    floor (9685.5)     		ty = 9685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7897 / 9685 ti = "14/7897/9685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7897/9685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7897 ÷ 214
    7897 ÷ 16384     		x = 0.48199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9685 ÷ 214
    9685 ÷ 16384     		y = 0.59112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0360107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11313108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.1822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.572558329061951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11313108} λ = -0.11313108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572558329061951))-π/2
    2×atan(0.564080487652674)-π/2
    2×0.513589257292573-π/2
    1.02717851458515-1.57079632675     		φ = -0.54361781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11313108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.481933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54361781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.147006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7897 KachelY 9685 -0.11313108 -0.54361781 -6.481933 -31.147006
    Oben rechts KachelX + 1 7898 KachelY 9685 -0.11274759 -0.54361781 -6.459961 -31.147006
    Unten links KachelX 7897 KachelY + 1 9686 -0.11313108 -0.54394599 -6.481933 -31.165810
    Unten rechts KachelX + 1 7898 KachelY + 1 9686 -0.11274759 -0.54394599 -6.459961 -31.165810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54361781--0.54394599) × R
    0.000328180000000011 × 6371000     		dl = 2090.83478000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54361781--0.54394599) × R
    0.000328180000000011 × 6371000     		dr = 2090.83478000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11313108--0.11274759) × cos(-0.54361781) × R
    0.00038349 × 0.855843026014397 × 6371000     		do = 2091.00833907673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11313108--0.11274759) × cos(-0.54394599) × R
    0.00038349 × 0.855673233534667 × 6371000     		du = 2090.59349957902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54361781)-sin(-0.54394599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855843026014397-0.855673233534667)×R²
    abs(-0.11274759--0.11313108)×0.00016979247972948×R²
    0.00038349×0.00016979247972948×6371000²
    0.00038349×0.00016979247972948×40589641000000     		ar = 4371519.31942087m²