Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78961 / 59759
↖ ↑ ↗
← N 15.667999°
E 36.872864°		 ← 294.02 m → N 15.667999°
E 36.875610°		 →
↑
294.09 m
↓
↑
294.09 m
↓
N 15.665354°
E 36.872864°		 ← 294.02 m →
86 466 m²		 N 15.665354°
E 36.875610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602428436279297 y=0.455928802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602428436279297 × 217)
    floor (0.602428436279297 × 131072)
    floor (78961.5)     		tx = 78961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455928802490234 × 217)
    floor (0.455928802490234 × 131072)
    floor (59759.5)     		ty = 59759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78961 / 59759 ti = "17/78961/59759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78961/59759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78961 ÷ 217
    78961 ÷ 131072     		x = 0.602424621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59759 ÷ 217
    59759 ÷ 131072     		y = 0.455924987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602424621582031 × 2 - 1) × π
    0.204849243164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.64355288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455924987792969 × 2 - 1) × π
    0.0881500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276931469105064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64355288} λ = 0.64355288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276931469105064))-π/2
    2×atan(1.31907597048063)-π/2
    2×0.922127245875056-π/2
    1.84425449175011-1.57079632675     		φ = 0.27345817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64355288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.872864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27345817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.667999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78961 KachelY 59759 0.64355288 0.27345817 36.872864 15.667999
    Oben rechts KachelX + 1 78962 KachelY 59759 0.64360081 0.27345817 36.875610 15.667999
    Unten links KachelX 78961 KachelY + 1 59760 0.64355288 0.27341201 36.872864 15.665354
    Unten rechts KachelX + 1 78962 KachelY + 1 59760 0.64360081 0.27341201 36.875610 15.665354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27345817-0.27341201) × R
    4.61600000000173e-05 × 6371000     		dl = 294.08536000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27345817-0.27341201) × R
    4.61600000000173e-05 × 6371000     		dr = 294.08536000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64355288-0.64360081) × cos(0.27345817) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.962842732718671 × 6371000     		do = 294.015611433901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64355288-0.64360081) × cos(0.27341201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.962855197787977 × 6371000     		du = 294.019417792768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27345817)-sin(0.27341201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962842732718671-0.962855197787977)×R²
    abs(0.64360081-0.64355288)×1.24650693059669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.24650693059669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.24650693059669e-05×40589641000000     		ar = 86466.2466468059m²