Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7896 / 9709
↖ ↑ ↗
← S 31.597252°
W  6.503906°		 ← 2 081.07 m → S 31.597252°
W  6.481933°		 →
↑
2 080.83 m
↓
↑
2 080.83 m
↓
S 31.615966°
W  6.503906°		 ← 2 080.65 m →
4 329 917 m²		 S 31.615966°
W  6.481933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481964111328125 y=0.592620849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481964111328125 × 214)
    floor (0.481964111328125 × 16384)
    floor (7896.5)     		tx = 7896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592620849609375 × 214)
    floor (0.592620849609375 × 16384)
    floor (9709.5)     		ty = 9709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7896 / 9709 ti = "14/7896/9709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7896/9709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7896 ÷ 214
    7896 ÷ 16384     		x = 0.48193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9709 ÷ 214
    9709 ÷ 16384     		y = 0.59259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59259033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1851806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.581762213789002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11351458} λ = -0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581762213789002))-π/2
    2×atan(0.55891257478644)-π/2
    2×0.509660117511533-π/2
    1.01932023502307-1.57079632675     		φ = -0.55147609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55147609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.597252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7896 KachelY 9709 -0.11351458 -0.55147609 -6.503906 -31.597252
    Oben rechts KachelX + 1 7897 KachelY 9709 -0.11313108 -0.55147609 -6.481933 -31.597252
    Unten links KachelX 7896 KachelY + 1 9710 -0.11351458 -0.55180270 -6.503906 -31.615966
    Unten rechts KachelX + 1 7897 KachelY + 1 9710 -0.11313108 -0.55180270 -6.481933 -31.615966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55147609--0.55180270) × R
    0.000326610000000005 × 6371000     		dl = 2080.83231000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55147609--0.55180270) × R
    0.000326610000000005 × 6371000     		dr = 2080.83231000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11351458--0.11313108) × cos(-0.55147609) × R
    0.000383500000000009 × 0.851752060190113 × 6371000     		do = 2081.06749599326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11351458--0.11313108) × cos(-0.55180270) × R
    0.000383500000000009 × 0.851580889066527 × 6371000     		du = 2080.64927726718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55147609)-sin(-0.55180270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851752060190113-0.851580889066527)×R²
    abs(-0.11313108--0.11351458)×0.000171171123585667×R²
    0.000383500000000009×0.000171171123585667×6371000²
    0.000383500000000009×0.000171171123585667×40589641000000     		ar = 4329917.40192433m²