Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78958 / 59762
↖ ↑ ↗
← N 15.660065°
E 36.864624°		 ← 294.03 m → N 15.660065°
E 36.867370°		 →
↑
294.09 m
↓
↑
294.09 m
↓
N 15.657420°
E 36.864624°		 ← 294.03 m →
86 470 m²		 N 15.657420°
E 36.867370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602405548095703 y=0.455951690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602405548095703 × 217)
    floor (0.602405548095703 × 131072)
    floor (78958.5)     		tx = 78958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455951690673828 × 217)
    floor (0.455951690673828 × 131072)
    floor (59762.5)     		ty = 59762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78958 / 59762 ti = "17/78958/59762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78958/59762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78958 ÷ 217
    78958 ÷ 131072     		x = 0.602401733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59762 ÷ 217
    59762 ÷ 131072     		y = 0.455947875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602401733398438 × 2 - 1) × π
    0.204803466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64340907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455947875976562 × 2 - 1) × π
    0.088104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.276787658406204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64340907} λ = 0.64340907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276787658406204))-π/2
    2×atan(1.31888628688306)-π/2
    2×0.922058010987576-π/2
    1.84411602197515-1.57079632675     		φ = 0.27331970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64340907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.864624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27331970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.660065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78958 KachelY 59762 0.64340907 0.27331970 36.864624 15.660065
    Oben rechts KachelX + 1 78959 KachelY 59762 0.64345700 0.27331970 36.867370 15.660065
    Unten links KachelX 78958 KachelY + 1 59763 0.64340907 0.27327354 36.864624 15.657420
    Unten rechts KachelX + 1 78959 KachelY + 1 59763 0.64345700 0.27327354 36.867370 15.657420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27331970-0.27327354) × R
    4.61600000000173e-05 × 6371000     		dl = 294.08536000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27331970-0.27327354) × R
    4.61600000000173e-05 × 6371000     		dr = 294.08536000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64340907-0.64345700) × cos(0.27331970) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.96288011907247 × 6371000     		do = 294.02702780611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64340907-0.64345700) × cos(0.27327354) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.962892577987342 × 6371000     		du = 294.030832285647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27331970)-sin(0.27327354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96288011907247-0.962892577987342)×R²
    abs(0.64345700-0.64340907)×1.24589148723375e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.24589148723375e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.24589148723375e-05×40589641000000     		ar = 86469.6037583857m²