Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78954 / 59806
↖ ↑ ↗
← N 15.543668°
E 36.853638°		 ← 294.26 m → N 15.543668°
E 36.856385°		 →
↑
294.28 m
↓
↑
294.28 m
↓
N 15.541022°
E 36.853638°		 ← 294.26 m →
86 593 m²		 N 15.541022°
E 36.856385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602375030517578 y=0.456287384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602375030517578 × 217)
    floor (0.602375030517578 × 131072)
    floor (78954.5)     		tx = 78954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456287384033203 × 217)
    floor (0.456287384033203 × 131072)
    floor (59806.5)     		ty = 59806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78954 / 59806 ti = "17/78954/59806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78954/59806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78954 ÷ 217
    78954 ÷ 131072     		x = 0.602371215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59806 ÷ 217
    59806 ÷ 131072     		y = 0.456283569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602371215820312 × 2 - 1) × π
    0.204742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64321732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456283569335938 × 2 - 1) × π
    0.087432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.274678434822922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64321732} λ = 0.64321732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274678434822922))-π/2
    2×atan(1.31610739250811)-π/2
    2×0.921042257829329-π/2
    1.84208451565866-1.57079632675     		φ = 0.27128819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64321732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.853638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27128819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.543668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78954 KachelY 59806 0.64321732 0.27128819 36.853638 15.543668
    Oben rechts KachelX + 1 78955 KachelY 59806 0.64326526 0.27128819 36.856385 15.543668
    Unten links KachelX 78954 KachelY + 1 59807 0.64321732 0.27124200 36.853638 15.541022
    Unten rechts KachelX + 1 78955 KachelY + 1 59807 0.64326526 0.27124200 36.856385 15.541022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27128819-0.27124200) × R
    4.61900000000015e-05 × 6371000     		dl = 294.27649000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27128819-0.27124200) × R
    4.61900000000015e-05 × 6371000     		dr = 294.27649000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64321732-0.64326526) × cos(0.27128819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963426496034759 × 6371000     		do = 294.25525048683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64321732-0.64326526) × cos(0.27124200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963438872667644 × 6371000     		du = 294.259030629088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27128819)-sin(0.27124200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963426496034759-0.963438872667644)×R²
    abs(0.64326526-0.64321732)×1.23766328853359e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.23766328853359e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.23766328853359e-05×40589641000000     		ar = 86592.9584961996m²