Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78953 / 59803
↖ ↑ ↗
← N 15.551607°
E 36.850891°		 ← 294.24 m → N 15.551607°
E 36.853638°		 →
↑
294.21 m
↓
↑
294.21 m
↓
N 15.548961°
E 36.850891°		 ← 294.25 m →
86 571 m²		 N 15.548961°
E 36.853638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602367401123047 y=0.456264495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602367401123047 × 217)
    floor (0.602367401123047 × 131072)
    floor (78953.5)     		tx = 78953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456264495849609 × 217)
    floor (0.456264495849609 × 131072)
    floor (59803.5)     		ty = 59803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78953 / 59803 ti = "17/78953/59803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78953/59803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78953 ÷ 217
    78953 ÷ 131072     		x = 0.602363586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59803 ÷ 217
    59803 ÷ 131072     		y = 0.456260681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602363586425781 × 2 - 1) × π
    0.204727172851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.64316938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456260681152344 × 2 - 1) × π
    0.0874786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.274822245521782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64316938} λ = 0.64316938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274822245521782))-π/2
    2×atan(1.3162966764422)-π/2
    2×0.921111532013147-π/2
    1.84222306402629-1.57079632675     		φ = 0.27142674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64316938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.850891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27142674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.551607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78953 KachelY 59803 0.64316938 0.27142674 36.850891 15.551607
    Oben rechts KachelX + 1 78954 KachelY 59803 0.64321732 0.27142674 36.853638 15.551607
    Unten links KachelX 78953 KachelY + 1 59804 0.64316938 0.27138056 36.850891 15.548961
    Unten rechts KachelX + 1 78954 KachelY + 1 59804 0.64321732 0.27138056 36.853638 15.548961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27142674-0.27138056) × R
    4.61800000000068e-05 × 6371000     		dl = 294.212780000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27142674-0.27138056) × R
    4.61800000000068e-05 × 6371000     		dr = 294.212780000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64316938-0.64321732) × cos(0.27142674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963389359165418 × 6371000     		do = 294.24390793103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64316938-0.64321732) × cos(0.27138056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963401739283174 × 6371000     		du = 294.247689137658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27142674)-sin(0.27138056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963389359165418-0.963401739283174)×R²
    abs(0.64321732-0.64316938)×1.23801177566163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.23801177566163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.23801177566163e-05×40589641000000     		ar = 86570.8744054787m²