Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78952 / 59784
↖ ↑ ↗
← N 15.601875°
E 36.848145°		 ← 294.11 m → N 15.601875°
E 36.850891°		 →
↑
294.15 m
↓
↑
294.15 m
↓
N 15.599230°
E 36.848145°		 ← 294.11 m →
86 513 m²		 N 15.599230°
E 36.850891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602359771728516 y=0.456119537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602359771728516 × 217)
    floor (0.602359771728516 × 131072)
    floor (78952.5)     		tx = 78952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456119537353516 × 217)
    floor (0.456119537353516 × 131072)
    floor (59784.5)     		ty = 59784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78952 / 59784 ti = "17/78952/59784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78952/59784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78952 ÷ 217
    78952 ÷ 131072     		x = 0.60235595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59784 ÷ 217
    59784 ÷ 131072     		y = 0.45611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60235595703125 × 2 - 1) × π
    0.2047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64312145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    0.0877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.275733046614563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64312145} λ = 0.64312145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.275733046614563))-π/2
    2×atan(1.31749610703196)-π/2
    2×0.9215502064353-π/2
    1.8431004128706-1.57079632675     		φ = 0.27230409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64312145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.848145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27230409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.601875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78952 KachelY 59784 0.64312145 0.27230409 36.848145 15.601875
    Oben rechts KachelX + 1 78953 KachelY 59784 0.64316938 0.27230409 36.850891 15.601875
    Unten links KachelX 78952 KachelY + 1 59785 0.64312145 0.27225792 36.848145 15.599230
    Unten rechts KachelX + 1 78953 KachelY + 1 59785 0.64316938 0.27225792 36.850891 15.599230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27230409-0.27225792) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dl = 294.149070000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27230409-0.27225792) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dr = 294.149070000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64312145-0.64316938) × cos(0.27230409) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.963153765426565 × 6371000     		do = 294.11058901298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64312145-0.64316938) × cos(0.27225792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.963166181883439 × 6371000     		du = 294.114380527456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27230409)-sin(0.27225792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963153765426565-0.963166181883439)×R²
    abs(0.64316938-0.64312145)×1.24164568744423e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.24164568744423e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.24164568744423e-05×40589641000000     		ar = 86512.9138858946m²