Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78951 / 83609
↖ ↑ ↗
← S 44.388654°
E 36.845398°		 ← 218.26 m → S 44.388654°
E 36.848145°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 44.390617°
E 36.845398°		 ← 218.25 m →
47 625 m²		 S 44.390617°
E 36.848145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602352142333984 y=0.637889862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602352142333984 × 217)
    floor (0.602352142333984 × 131072)
    floor (78951.5)     		tx = 78951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637889862060547 × 217)
    floor (0.637889862060547 × 131072)
    floor (83609.5)     		ty = 83609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78951 / 83609 ti = "17/78951/83609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78951/83609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78951 ÷ 217
    78951 ÷ 131072     		x = 0.602348327636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83609 ÷ 217
    83609 ÷ 131072     		y = 0.637886047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602348327636719 × 2 - 1) × π
    0.204696655273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.64307351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637886047363281 × 2 - 1) × π
    -0.275772094726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.866363586833275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64307351} λ = 0.64307351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866363586833275))-π/2
    2×atan(0.420477803541279)-π/2
    2×0.398034079606351-π/2
    0.796068159212702-1.57079632675     		φ = -0.77472817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64307351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.845398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77472817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.388654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78951 KachelY 83609 0.64307351 -0.77472817 36.845398 -44.388654
    Oben rechts KachelX + 1 78952 KachelY 83609 0.64312145 -0.77472817 36.848145 -44.388654
    Unten links KachelX 78951 KachelY + 1 83610 0.64307351 -0.77476242 36.845398 -44.390617
    Unten rechts KachelX + 1 78952 KachelY + 1 83610 0.64312145 -0.77476242 36.848145 -44.390617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77472817--0.77476242) × R
    3.42499999999024e-05 × 6371000     		dl = 218.206749999378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77472817--0.77476242) × R
    3.42499999999024e-05 × 6371000     		dr = 218.206749999378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64307351-0.64312145) × cos(-0.77472817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714611211479512 × 6371000     		do = 218.260658078283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64307351-0.64312145) × cos(-0.77476242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714587252437066 × 6371000     		du = 218.253340370015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77472817)-sin(-0.77476242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714611211479512-0.714587252437066)×R²
    abs(0.64312145-0.64307351)×2.39590424456759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39590424456759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39590424456759e-05×40589641000000     		ar = 47625.1504698803m²