Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78951 / 59735
↖ ↑ ↗
← N 15.731458°
E 36.845398°		 ← 293.99 m → N 15.731458°
E 36.848145°		 →
↑
293.96 m
↓
↑
293.96 m
↓
N 15.728814°
E 36.845398°		 ← 293.99 m →
86 420 m²		 N 15.728814°
E 36.848145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602352142333984 y=0.455745697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602352142333984 × 217)
    floor (0.602352142333984 × 131072)
    floor (78951.5)     		tx = 78951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455745697021484 × 217)
    floor (0.455745697021484 × 131072)
    floor (59735.5)     		ty = 59735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78951 / 59735 ti = "17/78951/59735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78951/59735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78951 ÷ 217
    78951 ÷ 131072     		x = 0.602348327636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59735 ÷ 217
    59735 ÷ 131072     		y = 0.455741882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602348327636719 × 2 - 1) × π
    0.204696655273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.64307351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455741882324219 × 2 - 1) × π
    0.0885162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.278081954695946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64307351} λ = 0.64307351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.278081954695946))-π/2
    2×atan(1.32059442168858)-π/2
    2×0.922681028072309-π/2
    1.84536205614462-1.57079632675     		φ = 0.27456573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64307351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.845398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27456573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.731458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78951 KachelY 59735 0.64307351 0.27456573 36.845398 15.731458
    Oben rechts KachelX + 1 78952 KachelY 59735 0.64312145 0.27456573 36.848145 15.731458
    Unten links KachelX 78951 KachelY + 1 59736 0.64307351 0.27451959 36.845398 15.728814
    Unten rechts KachelX + 1 78952 KachelY + 1 59736 0.64312145 0.27451959 36.848145 15.728814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27456573-0.27451959) × R
    4.61400000000278e-05 × 6371000     		dl = 293.957940000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27456573-0.27451959) × R
    4.61400000000278e-05 × 6371000     		dr = 293.957940000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64307351-0.64312145) × cos(0.27456573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962543031560752 × 6371000     		do = 293.985417696093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64307351-0.64312145) × cos(0.27451959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.962555540426336 × 6371000     		du = 293.989238225621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27456573)-sin(0.27451959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962543031560752-0.962555540426336)×R²
    abs(0.64312145-0.64307351)×1.25088655839045e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.25088655839045e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.25088655839045e-05×40589641000000     		ar = 86419.9093288338m²