Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78950 / 83611
↖ ↑ ↗
← S 44.392580°
E 36.842651°		 ← 218.25 m → S 44.392580°
E 36.845398°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 44.394542°
E 36.842651°		 ← 218.24 m →
47 622 m²		 S 44.394542°
E 36.845398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602344512939453 y=0.637905120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602344512939453 × 217)
    floor (0.602344512939453 × 131072)
    floor (78950.5)     		tx = 78950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637905120849609 × 217)
    floor (0.637905120849609 × 131072)
    floor (83611.5)     		ty = 83611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78950 / 83611 ti = "17/78950/83611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78950/83611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78950 ÷ 217
    78950 ÷ 131072     		x = 0.602340698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83611 ÷ 217
    83611 ÷ 131072     		y = 0.637901306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602340698242188 × 2 - 1) × π
    0.204681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64302557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637901306152344 × 2 - 1) × π
    -0.275802612304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.866459460632515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64302557} λ = 0.64302557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866459460632515))-π/2
    2×atan(0.420437492669167)-π/2
    2×0.397999824509071-π/2
    0.795999649018141-1.57079632675     		φ = -0.77479668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64302557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.842651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77479668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.392580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78950 KachelY 83611 0.64302557 -0.77479668 36.842651 -44.392580
    Oben rechts KachelX + 1 78951 KachelY 83611 0.64307351 -0.77479668 36.845398 -44.392580
    Unten links KachelX 78950 KachelY + 1 83612 0.64302557 -0.77483093 36.842651 -44.394542
    Unten rechts KachelX + 1 78951 KachelY + 1 83612 0.64307351 -0.77483093 36.845398 -44.394542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77479668--0.77483093) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77479668--0.77483093) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64302557-0.64307351) × cos(-0.77479668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714563285560657 × 6371000     		do = 218.246020269052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64302557-0.64307351) × cos(-0.77483093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714539324841484 × 6371000     		du = 218.238702048667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77479668)-sin(-0.77483093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714563285560657-0.714539324841484)×R²
    abs(0.64307351-0.64302557)×2.39607191734326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39607191734326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39607191734326e-05×40589641000000     		ar = 47621.9563455356m²