Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78950 / 59833
↖ ↑ ↗
← N 15.472210°
E 36.842651°		 ← 294.36 m → N 15.472210°
E 36.845398°		 →
↑
294.34 m
↓
↑
294.34 m
↓
N 15.469563°
E 36.842651°		 ← 294.36 m →
86 642 m²		 N 15.469563°
E 36.845398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602344512939453 y=0.456493377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602344512939453 × 217)
    floor (0.602344512939453 × 131072)
    floor (78950.5)     		tx = 78950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456493377685547 × 217)
    floor (0.456493377685547 × 131072)
    floor (59833.5)     		ty = 59833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78950 / 59833 ti = "17/78950/59833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78950/59833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78950 ÷ 217
    78950 ÷ 131072     		x = 0.602340698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59833 ÷ 217
    59833 ÷ 131072     		y = 0.456489562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602340698242188 × 2 - 1) × π
    0.204681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64302557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456489562988281 × 2 - 1) × π
    0.0870208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.27338413853318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64302557} λ = 0.64302557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27338413853318))-π/2
    2×atan(1.31440506149109)-π/2
    2×0.920418670186014-π/2
    1.84083734037203-1.57079632675     		φ = 0.27004101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64302557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.842651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27004101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.472210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78950 KachelY 59833 0.64302557 0.27004101 36.842651 15.472210
    Oben rechts KachelX + 1 78951 KachelY 59833 0.64307351 0.27004101 36.845398 15.472210
    Unten links KachelX 78950 KachelY + 1 59834 0.64302557 0.26999481 36.842651 15.469563
    Unten rechts KachelX + 1 78951 KachelY + 1 59834 0.64307351 0.26999481 36.845398 15.469563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27004101-0.26999481) × R
    4.62000000000518e-05 × 6371000     		dl = 294.34020000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27004101-0.26999481) × R
    4.62000000000518e-05 × 6371000     		dr = 294.34020000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64302557-0.64307351) × cos(0.27004101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96375995689923 × 6371000     		do = 294.357098018122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64302557-0.64307351) × cos(0.26999481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963772280689067 × 6371000     		du = 294.360862020753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27004101)-sin(0.26999481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96375995689923-0.963772280689067)×R²
    abs(0.64307351-0.64302557)×1.23237898365103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.23237898365103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.23237898365103e-05×40589641000000     		ar = 86641.6810661715m²