Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7895 / 3385
↖ ↑ ↗
← N 72.012945°
W  6.525879°		 ← 754.47 m → N 72.012945°
W  6.503906°		 →
↑
754.58 m
↓
↑
754.58 m
↓
N 72.006159°
W  6.525879°		 ← 754.75 m →
569 413 m²		 N 72.006159°
W  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481903076171875 y=0.206634521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481903076171875 × 214)
    floor (0.481903076171875 × 16384)
    floor (7895.5)     		tx = 7895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206634521484375 × 214)
    floor (0.206634521484375 × 16384)
    floor (3385.5)     		ty = 3385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7895 / 3385 ti = "14/7895/3385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7895/3385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7895 ÷ 214
    7895 ÷ 16384     		x = 0.48187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3385 ÷ 214
    3385 ÷ 16384     		y = 0.20660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20660400390625 × 2 - 1) × π
    0.5867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84346141178888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11389807} λ = -0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84346141178888))-π/2
    2×atan(6.31837093693461)-π/2
    2×1.41382965879656-π/2
    2.82765931759312-1.57079632675     		φ = 1.25686299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25686299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.012945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7895 KachelY 3385 -0.11389807 1.25686299 -6.525879 72.012945
    Oben rechts KachelX + 1 7896 KachelY 3385 -0.11351458 1.25686299 -6.503906 72.012945
    Unten links KachelX 7895 KachelY + 1 3386 -0.11389807 1.25674455 -6.525879 72.006159
    Unten rechts KachelX + 1 7896 KachelY + 1 3386 -0.11351458 1.25674455 -6.503906 72.006159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25686299-1.25674455) × R
    0.000118439999999831 × 6371000     		dl = 754.581239998923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25686299-1.25674455) × R
    0.000118439999999831 × 6371000     		dr = 754.581239998923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11389807--0.11351458) × cos(1.25686299) × R
    0.00038349 × 0.308802115657 × 6371000     		do = 754.469896156472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11389807--0.11351458) × cos(1.25674455) × R
    0.00038349 × 0.308914764890687 × 6371000     		du = 754.7451224303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25686299)-sin(1.25674455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308802115657-0.308914764890687)×R²
    abs(-0.11351458--0.11389807)×0.00011264923368759×R²
    0.00038349×0.00011264923368759×6371000²
    0.00038349×0.00011264923368759×40589641000000     		ar = 569412.670740839m²