Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78937 / 83847
↖ ↑ ↗
← S 44.853922°
E 36.806946°		 ← 216.52 m → S 44.853922°
E 36.809692°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
S 44.855869°
E 36.806946°		 ← 216.51 m →
46 873 m²		 S 44.855869°
E 36.809692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602245330810547 y=0.639705657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602245330810547 × 217)
    floor (0.602245330810547 × 131072)
    floor (78937.5)     		tx = 78937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639705657958984 × 217)
    floor (0.639705657958984 × 131072)
    floor (83847.5)     		ty = 83847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78937 / 83847 ti = "17/78937/83847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78937/83847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78937 ÷ 217
    78937 ÷ 131072     		x = 0.602241516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83847 ÷ 217
    83847 ÷ 131072     		y = 0.639701843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602241516113281 × 2 - 1) × π
    0.204483032226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.64240239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639701843261719 × 2 - 1) × π
    -0.279403686523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.877772568942848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64240239} λ = 0.64240239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877772568942848))-π/2
    2×atan(0.415707841747598)-π/2
    2×0.393973854762217-π/2
    0.787947709524435-1.57079632675     		φ = -0.78284862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64240239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.806946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78284862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.853922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78937 KachelY 83847 0.64240239 -0.78284862 36.806946 -44.853922
    Oben rechts KachelX + 1 78938 KachelY 83847 0.64245033 -0.78284862 36.809692 -44.853922
    Unten links KachelX 78937 KachelY + 1 83848 0.64240239 -0.78288260 36.806946 -44.855869
    Unten rechts KachelX + 1 78938 KachelY + 1 83848 0.64245033 -0.78288260 36.809692 -44.855869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78284862--0.78288260) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78284862--0.78288260) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64240239-0.64245033) × cos(-0.78284862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708907280502288 × 6371000     		do = 216.518530738657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64240239-0.64245033) × cos(-0.78288260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708883313941751 × 6371000     		du = 216.51121073417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78284862)-sin(-0.78288260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708907280502288-0.708883313941751)×R²
    abs(0.64245033-0.64240239)×2.39665605370476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39665605370476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39665605370476e-05×40589641000000     		ar = 46872.5638893443m²