Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78933 / 83844
↖ ↑ ↗
← S 44.848080°
E 36.795959°		 ← 216.54 m → S 44.848080°
E 36.798706°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
S 44.850028°
E 36.795959°		 ← 216.53 m →
46 891 m²		 S 44.850028°
E 36.798706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602214813232422 y=0.639682769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602214813232422 × 217)
    floor (0.602214813232422 × 131072)
    floor (78933.5)     		tx = 78933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639682769775391 × 217)
    floor (0.639682769775391 × 131072)
    floor (83844.5)     		ty = 83844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78933 / 83844 ti = "17/78933/83844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78933/83844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78933 ÷ 217
    78933 ÷ 131072     		x = 0.602210998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83844 ÷ 217
    83844 ÷ 131072     		y = 0.639678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602210998535156 × 2 - 1) × π
    0.204421997070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.64221064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.27935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.877628758243988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64221064} λ = 0.64221064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877628758243988))-π/2
    2×atan(0.415767629281782)-π/2
    2×0.394024831573229-π/2
    0.788049663146458-1.57079632675     		φ = -0.78274666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64221064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.795959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78274666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.848080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78933 KachelY 83844 0.64221064 -0.78274666 36.795959 -44.848080
    Oben rechts KachelX + 1 78934 KachelY 83844 0.64225858 -0.78274666 36.798706 -44.848080
    Unten links KachelX 78933 KachelY + 1 83845 0.64221064 -0.78278065 36.795959 -44.850028
    Unten rechts KachelX + 1 78934 KachelY + 1 83845 0.64225858 -0.78278065 36.798706 -44.850028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78274666--0.78278065) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dl = 216.550289999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78274666--0.78278065) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dr = 216.550289999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64221064-0.64225858) × cos(-0.78274666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708979189377179 × 6371000     		do = 216.540493559983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64221064-0.64225858) × cos(-0.78278065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708955218220271 × 6371000     		du = 216.533172151646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78274666)-sin(-0.78278065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708979189377179-0.708955218220271)×R²
    abs(0.64225858-0.64221064)×2.39711569083312e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39711569083312e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39711569083312e-05×40589641000000     		ar = 46891.1139549677m²