Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78932 / 83845
↖ ↑ ↗
← S 44.850028°
E 36.793213°		 ← 216.49 m → S 44.850028°
E 36.795959°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
S 44.851974°
E 36.793213°		 ← 216.48 m →
46 866 m²		 S 44.851974°
E 36.795959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602207183837891 y=0.639690399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602207183837891 × 217)
    floor (0.602207183837891 × 131072)
    floor (78932.5)     		tx = 78932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639690399169922 × 217)
    floor (0.639690399169922 × 131072)
    floor (83845.5)     		ty = 83845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78932 / 83845 ti = "17/78932/83845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78932/83845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78932 ÷ 217
    78932 ÷ 131072     		x = 0.602203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83845 ÷ 217
    83845 ÷ 131072     		y = 0.639686584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602203369140625 × 2 - 1) × π
    0.20440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64216271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639686584472656 × 2 - 1) × π
    -0.279373168945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.877676695143608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64216271} λ = 0.64216271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877676695143608))-π/2
    2×atan(0.41574769914837)-π/2
    2×0.394007838728413-π/2
    0.788015677456826-1.57079632675     		φ = -0.78278065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64216271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.793213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78278065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.850028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78932 KachelY 83845 0.64216271 -0.78278065 36.793213 -44.850028
    Oben rechts KachelX + 1 78933 KachelY 83845 0.64221064 -0.78278065 36.795959 -44.850028
    Unten links KachelX 78932 KachelY + 1 83846 0.64216271 -0.78281463 36.793213 -44.851974
    Unten rechts KachelX + 1 78933 KachelY + 1 83846 0.64221064 -0.78281463 36.795959 -44.851974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78278065--0.78281463) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78278065--0.78281463) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64216271-0.64221064) × cos(-0.78278065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708955218220271 × 6371000     		do = 216.488004614967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64216271-0.64221064) × cos(-0.78281463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708931253297068 × 6371000     		du = 216.480686637369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78278065)-sin(-0.78281463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708955218220271-0.708931253297068)×R²
    abs(0.64221064-0.64216271)×2.39649232025574e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39649232025574e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39649232025574e-05×40589641000000     		ar = 46865.9556127271m²