Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78930 / 83843
↖ ↑ ↗
← S 44.846133°
E 36.787720°		 ← 216.55 m → S 44.846133°
E 36.790466°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
S 44.848080°
E 36.787720°		 ← 216.54 m →
46 879 m²		 S 44.848080°
E 36.790466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602191925048828 y=0.639675140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602191925048828 × 217)
    floor (0.602191925048828 × 131072)
    floor (78930.5)     		tx = 78930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639675140380859 × 217)
    floor (0.639675140380859 × 131072)
    floor (83843.5)     		ty = 83843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78930 / 83843 ti = "17/78930/83843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78930/83843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78930 ÷ 217
    78930 ÷ 131072     		x = 0.602188110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83843 ÷ 217
    83843 ÷ 131072     		y = 0.639671325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602188110351562 × 2 - 1) × π
    0.204376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64206683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639671325683594 × 2 - 1) × π
    -0.279342651367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.877580821344368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64206683} λ = 0.64206683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877580821344368))-π/2
    2×atan(0.415787560370606)-π/2
    2×0.394041824992523-π/2
    0.788083649985047-1.57079632675     		φ = -0.78271268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64206683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.787720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78271268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.846133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78930 KachelY 83843 0.64206683 -0.78271268 36.787720 -44.846133
    Oben rechts KachelX + 1 78931 KachelY 83843 0.64211477 -0.78271268 36.790466 -44.846133
    Unten links KachelX 78930 KachelY + 1 83844 0.64206683 -0.78274666 36.787720 -44.848080
    Unten rechts KachelX + 1 78931 KachelY + 1 83844 0.64211477 -0.78274666 36.790466 -44.848080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78271268--0.78274666) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78271268--0.78274666) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64206683-0.64211477) × cos(-0.78271268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709003152662936 × 6371000     		do = 216.547812564268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64206683-0.64211477) × cos(-0.78274666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708979189377179 × 6371000     		du = 216.540493559983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78271268)-sin(-0.78274666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709003152662936-0.708979189377179)×R²
    abs(0.64211477-0.64206683)×2.39632857572669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39632857572669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39632857572669e-05×40589641000000     		ar = 46878.9031199812m²