Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7893 / 3430
↖ ↑ ↗
← N 71.705093°
W  6.569824°		 ← 766.94 m → N 71.705093°
W  6.547852°		 →
↑
767.13 m
↓
↑
767.13 m
↓
N 71.698194°
W  6.569824°		 ← 767.22 m →
588 455 m²		 N 71.698194°
W  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481781005859375 y=0.209381103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481781005859375 × 214)
    floor (0.481781005859375 × 16384)
    floor (7893.5)     		tx = 7893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209381103515625 × 214)
    floor (0.209381103515625 × 16384)
    floor (3430.5)     		ty = 3430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7893 / 3430 ti = "14/7893/3430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7893/3430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7893 ÷ 214
    7893 ÷ 16384     		x = 0.48175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3430 ÷ 214
    3430 ÷ 16384     		y = 0.2093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.0364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11466506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2093505859375 × 2 - 1) × π
    0.581298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82620412792566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11466506} λ = -0.11466506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82620412792566))-π/2
    2×atan(6.21026847640083)-π/2
    2×1.41114314094339-π/2
    2.82228628188679-1.57079632675     		φ = 1.25148996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11466506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25148996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.705093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7893 KachelY 3430 -0.11466506 1.25148996 -6.569824 71.705093
    Oben rechts KachelX + 1 7894 KachelY 3430 -0.11428157 1.25148996 -6.547852 71.705093
    Unten links KachelX 7893 KachelY + 1 3431 -0.11466506 1.25136955 -6.569824 71.698194
    Unten rechts KachelX + 1 7894 KachelY + 1 3431 -0.11428157 1.25136955 -6.547852 71.698194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25148996-1.25136955) × R
    0.000120410000000071 × 6371000     		dl = 767.132110000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25148996-1.25136955) × R
    0.000120410000000071 × 6371000     		dr = 767.132110000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11466506--0.11428157) × cos(1.25148996) × R
    0.00038349 × 0.31390806379024 × 6371000     		do = 766.944824152577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11466506--0.11428157) × cos(1.25136955) × R
    0.00038349 × 0.314022385196265 × 6371000     		du = 767.224135902592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25148996)-sin(1.25136955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31390806379024-0.314022385196265)×R²
    abs(-0.11428157--0.11466506)×0.000114321406025353×R²
    0.00038349×0.000114321406025353×6371000²
    0.00038349×0.000114321406025353×40589641000000     		ar = 588455.13642171m²