Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78922 / 59850
↖ ↑ ↗
← N 15.427205°
E 36.765747°		 ← 294.42 m → N 15.427205°
E 36.768494°		 →
↑
294.40 m
↓
↑
294.40 m
↓
N 15.424558°
E 36.765747°		 ← 294.42 m →
86 679 m²		 N 15.424558°
E 36.768494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602130889892578 y=0.456623077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602130889892578 × 217)
    floor (0.602130889892578 × 131072)
    floor (78922.5)     		tx = 78922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456623077392578 × 217)
    floor (0.456623077392578 × 131072)
    floor (59850.5)     		ty = 59850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78922 / 59850 ti = "17/78922/59850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78922/59850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78922 ÷ 217
    78922 ÷ 131072     		x = 0.602127075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59850 ÷ 217
    59850 ÷ 131072     		y = 0.456619262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602127075195312 × 2 - 1) × π
    0.204254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64168334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456619262695312 × 2 - 1) × π
    0.086761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.272569211239639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64168334} λ = 0.64168334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272569211239639))-π/2
    2×atan(1.31333435326565)-π/2
    2×0.920025930391072-π/2
    1.84005186078214-1.57079632675     		φ = 0.26925553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64168334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.765747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26925553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.427205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78922 KachelY 59850 0.64168334 0.26925553 36.765747 15.427205
    Oben rechts KachelX + 1 78923 KachelY 59850 0.64173128 0.26925553 36.768494 15.427205
    Unten links KachelX 78922 KachelY + 1 59851 0.64168334 0.26920932 36.765747 15.424558
    Unten rechts KachelX + 1 78923 KachelY + 1 59851 0.64173128 0.26920932 36.768494 15.424558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26925553-0.26920932) × R
    4.62100000000465e-05 × 6371000     		dl = 294.403910000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26925553-0.26920932) × R
    4.62100000000465e-05 × 6371000     		dr = 294.403910000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64168334-0.64173128) × cos(0.26925553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96396920282217 × 6371000     		do = 294.421007108978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64168334-0.64173128) × cos(0.26920932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963981494293624 × 6371000     		du = 294.424761240743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26925553)-sin(0.26920932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96396920282217-0.963981494293624)×R²
    abs(0.64173128-0.64168334)×1.22914714533184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22914714533184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22914714533184e-05×40589641000000     		ar = 86679.2483099752m²